论线性规划在求解最值中的应用.docx

论线性规划在求解最值中的应用泰州技师学院余安娜在高中数学的学习过程中，求解最值是一大重点和难点，也是每年高考的一大热点，题型和方法多种多样。而利用线性规划求解最值也是我们常运用的一种较简单的手段，它需要学生建立数形结合，转化与化归的思想，而且还能体现学生的综合分析能力，逻辑思维能力以及解决实际问题的能力，故本文就对利用线性规划求解最值问题进行浅析。（题型一）求与目标函数有关的最值问题：当目标函数的关系式如z=ax:+b），+c（人工0）时，可把目标函数变形为y='+二£,则目标函数表示斜率为-J在），轴上的截距为的bbbb直线/,然后通过平移y=-0寻找最优解.一般步骤如下：（1）作出可b行域；（2）平移目标函数的直线系，根据截距求出最优解.y2x例1.已知实数x、y满足y-2x则求目标函数Z=-2y的最小值.x3【解析】画出满足不等式组的可行域如下图:x=3目标函数化为：y=-z,画直线y=白及其平行线，可知当此直线经过点A时，一z的值最大，Z的值最小，解方程组二2X得到A点的坐标为(3,6),所以，Z的最小值为：3-2X6=-90(题型二)求比值的最值问题：当目标函数形如Z=二艺时，可把Z看作是动点M(X,y)与定点Nm向连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为MN连线斜率的最值。x-y-20,例2设实数第y满足x+2y-420,则求z=±的最大值.Y2y-3【解析】画出不等式组所确定的平面区域如下图，x-y-2=O2y-3=O夕J2N产6ZB"+2)4=°Xx-0Z=2=匕2表示两点May),O(W)确定的直线的斜率，要求Z的最大值，即求可行域内的点与原点连线的斜率的最大值.由上图可以看出直线OA的斜率最大，故M为x+2y-4=0与2y-3=0的交点，即力点.故z=的最大值为J2)X2(题型三)求与距离有关的最值问题：当目标函数形如Z=(X-a>+(y-b)2时,可把Z看作是定点M(C1力)与动点、NEy)距离的平方，这样目标函数的最值就转化为MN距离平方的最值。x-+2O,例3.已知x+y-420,求Z=X2+y2-i"25的最小值.2x-y-50,【解析】作出可行域如下图:x+v-4=0-5并求出顶点的坐标A(1.3),8(3,1),C(7,9),fz=x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2表示定点M(0,5)到可行域内任一点N(X,y)的距离的平方，过定点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故Z的最小值是"W")2号(题型四)求与截距有关的最值问题：x+y0例4.不等式组卜-y0表示的平面区域面积为81,求V+y的最小值.x<a【解析】由可行域的面积为81求出。=9,作出可行域如下图：令z=d+y,则此式变形为y=-X2+z,Z可看作是动抛物线y=-2+z在)，轴上的截距，当此抛物线与y=r相切时Z最小，故联立方程组"'='z,得到方程7-z=0,=1.÷4z=0,得到答案一)'=r4。(题型五)求与向量有关的最值问题:及点4(2, 0),求OPOA由X-4y+30,例5.已知点P的坐标(x,y)满足：3x+5y25,a?10.的最大值.【解析】作出可行域如下图:华孚二I而IC0SN40P,即为所在画上的投影长阿由I；：；：；解得“5，当P在B处时,有I西PosNAOP的最大值为5,OPOA阿的最大值为5.(题型六)与实际应用有关的最值问题:用线性规划解实际问题的一般步骤是：(1)认真分析并了解、熟悉实际问题的背景，收集有关数据；(2)将影响该问题的各项主要因素作为决策变量，设为未知数;(3)根据问题特点，写出各约束条件；(4)列出目标函数Z=Or+力，通过作图求出最优解或其它要求的解.例6.一位农民有田2亩，根据他的经验：若种水稻，则每亩每期产量为400kg；若种花生，则每亩每期产量为100kg,但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每Ikg可卖5元，稻米每Ikg只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润？并求出最大利润。【解析】最优种值安排问题就是求非负变量x、y满足条件x+y2和240x+80y400时，利润P达到最大。解：设水稻种X亩，花生种y亩，.则由题意得x+y2240r+80y400x20y0作出可行域如右图：oR/而利润P=(3×400-240)x+(5×100-80)y=960x+42Oy(目标函数)可联立240x+80y二400得交点(1-5>05)故当=1.5,)，=0.5时，心州=960X1.5+420X0.5=1650即水稻种1.5亩，花生种0.5亩时所得到利润最大为1650元。利用线性规划思想去理解高中数学中一些求最值问题，实际上是对数形结合思想的提升，是从一个新的角度对求最值问题的理解，对于学生最优化思想的形成是非常有益的。