椭圆不错的习题(练习+详细答案).docx
提能拔高限时训练35一、选择题1 .A(O,b),点B为椭圆T+%=l(a>b>O)的左准线与X轴的交点.假设线段AB的中点C在椭圆上,那么该椭圆的离心率为(A.3解析:由,得B(-,0),又A(O,b), AB的中点C为(:,乡).2c 2Y点C在椭圆上,答案:C22 .椭圆J+y2=的左、右两个焦点分别为Fl、Fm过Fl作垂直于X轴的直线马椭圆相交,一个交点为P,那么IPFd等于(B.33F解析:方法一:设F(-V3,O),F2(V3,0),那么点P的横坐标为一由点P在椭圆上,得上z+)产=1,工y=±L,即IPFIl=227又VPF2+PF=2a=4,PF2=方法二:由得a=2,c=3,e=,2a24r椭圆的右准线方程为了=<-=C33-(-3)22答案:C223 .设B、F2分别是椭圆0+4=l(a>b>O)的左、右两个焦点,假设在其右准线上存在点P,使线段PFl的ab中垂线过点F2,那么该椭圆的离心率的取值范围是()A.(0,等B(0 亭D÷4)解析:如图,设右准线与X轴的交点为H,那么PF2HF2.又FFEI=IPFd,.FiF2HF2,即2c-CcX*e<l,*e三,1).3答案:D224.设点P(-3,l)在椭圆三十2=l(a>b>O)的左准线上,过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后ab通过椭圆的左焦点,那么这个椭圆的离心率为()1B.-31D.-259解析:入射光线所在直线的方程为y-l=-(x+3),它与直线y=-2的交点为(-1-2).,-2-0 5-2 +12'5c = l.2X-=-3,2=3,a=y3,c答案:A025.设椭圆,方=3b>。)与X轴正半轴的交点为A,和y轴正半轴的交点为B.P为第一象限内椭圆上的点,那么四边形OAPB的面积最大值为(A.2abC.-ab2D.2ab解析:方法一:设P(acosO,bsinO),那么S四边形Oapb=Soap÷SObp=-absn+-bacos=-ab(sin夕+COSe).222Vsin+cos=V2sin(÷)<V,4.2S四边形OAPBW-ab.2方法二:设点P(x,y),那么S四边形OAPB=Saop+Sabop=54y+5bx=耳(4y+bx).由不等式性质:a>0,b>0时,bI方法三:如图,直线AB的方程为J70=(x-c)yS四边形OAPB=Saob+SAPB=-Cib÷Sapba2设点P到直线AB的距离为d,那么SAPB=gABd=ya2+b2d,由题意,知过点P的直线与椭圆相切且和直线AB平行时d有最大值J可设过点P且与AB平行的直线、,b为y=x+m.联立方程组by=x+in,ar+r=i2十y2''ab得2b2x2-2mabx+a2(m2-b2)=05=(-2mab)2-8a2b2(m2-b2)=0,解得加=而由两平行线间的距离公式,得d=(17)"”,SaAPB最大值=Y"血v,S四边形OAPB最大值=Clb.2答案:B6设直线L2x÷y÷2=0关于原点对称的直线为匕假设呜椭圆炉交于A、B两点,点P为椭圆上的动点,那么使PAB的面积为L的点P的个数为()2A.lB.2解析:可求出直线l':2x+y-2=0.2x+y-2=0,由方程组、v2解得X=O或x=l.IT=LA(0,2),B(l,0),AB=5.C.3D.4点P到AB的距离为表.由AB所在的直线方程为y=2x+2,设P（x0,yo）,x2+y-玉)十4-L12/+先一21二15-5,解之有两组解.故存在两个不同的P点满足题意.答案:BX=2cos（z>,”（为参数）的离心率为（）Y=3Sine2A.-32Di13解析:将椭圆的参数方程化为普通方程,得($2+(»=1,即/qi=.a2=9,b2=4,KPa=3,b=2.：c2=a2-b2=5,c=5.答案:C8.设e为椭圆二-亡=1（加>-2）的离心率,且e（变,1）,那么实数m的取值范围为（）2m2A.(-l,0)B(2")D.(2-万)xaa2k2 +b2解析:椭圆方程为f-=l,2-m*/m>-2且m>0,二0<-m<2.a2=2,b2=-m,三P。=J2,b=Vtn.c2=a2-b2=2+m,C=y2+m,e=-=,1).解得m(-1,0).Clh2答案:AX2V29.假设AB为过椭圆一+2L=I中心的弦,R为椭圆的右焦点,那么F1AB面积的最大值为(2516A.6B.12C.24D.48解析:由得Fi为(3,0),那么FAB可看成由OBFi和OAFl组成.设A(xo,yo),那么B(-xo,-yo).,.SMA8=SA。%+Saoa斤.1。用7o+g06yo=2×3×y0=3y0.由椭圆的定义,知IyOlWb=4,SMA8412答案:B22XV,_10,椭圆于+=1,过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A、B两点,交y轴于P点,设尸A=AF,PB=2BP,那么+2的值为()950509A.B.C.D.259925解析:设直线AB的方程为y=k(xc),那么/+乒一m>">°)>(a2k2+b2)x2-la2ck2x+a2k2c2-a2b2=0,y=k(x-c).2a2k2c,3+4=八2+从2>22x>j2Crk-Cr-Crb-C(XA+/)一24/c,解得AC = /A31838答案彳（文）在AABC中,NA=90tnB=j假设以A、B为焦点的椭圆经过点C那么该椭圆的离心率e=-c(xa+xb)+xaxb2a22a2b2a2-c2e2-a450C=一,j+入2=.59答案:B二、填空题11 .椭圆工+21=1的离心率e=典,那么m的值为.5m5解析:分两种情况.焦点在X轴上时,0<m<5,e=年值=®解得m=3;55焦点在y轴上时,m>5,.i例出25e=-I=,解得"？=二-4m5325答案：3或33712 .（理）在AABC,AB=BC,cosB=.假设以A、B为焦点的椭圆经过点C,那么该椭圆的离心率18e=.解析:以A、B为焦点的椭圆经过点C,.ABAC+BCABVAB=BC,：,e=AC+AB又 cos八丝X=C ='IAB BC18.2 AB2 - AC22AB75解析:设IACI=3x,AB=4x,XVZA=90oiBC=5x.由椭圆定义知IAcWBel=2a=8x,那么2c=AB=4x,48x213 .A、B为椭圆C:J+2-=l的长轴的两个端点,P是椭圆C上的动点,且NAPB的最大值是;,那么实数m的值是.解析：由椭圆知识，知当点P位于短轴的端点时NAPB取得最大值，根据题意那么有答案14 .椭圆1+J=I的焦点为Fi、F2,点P为椭圆上的动点.当NF1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围是.解析:假设NFlPF2=90。,设P(x,y),那么由椭圆方程得a=3,b=2,c=32-22=5.F1(-5,0),F2(5,0).解得x=±石.结合椭圆图形可得,当NBPF2为钝角时,答案：-j<XVg三、解答题15 .椭圆中心在原点O,它的短轴长为22,对应于焦点F(c,O)(c>O)的准线1与X轴相交于点A,且IOFI=2IFAI,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.(1)求椭圆的方程及离心率；设丽丽=0,求直线PQ的方程.x2V2L解:由题意,设椭圆的方程为+2-=i(>2).a22-C2=2,由,得9、2(c)c解得a=V6,c=2.，椭圆的方程为二+2=1,离心率e=.62a3(2)由知A(3,0),设直线PQ的方程为y=k(x-3),22由方程组，62'得(3k2+l)28k2+27k2-6=O.y=A(x-3).依题意=12(2-3k2)>O5.一旦<k<也.33设P(,y),Q(2,y2),18F27%2-632+,232+1由直线PQ的方程,得yy2=k(x-3)k(x2-3)=k2xiX2-3(x+x2)+9.OPOQ=O,xx2+yy2=O.QJk2-6CQIk2-6.18公.弓+k23×-+9=0.3k2+3k2+3&2+1整理得5k2=l,一湃甘当).直线PQ的方程为y=±y-(x-3),即X-V5y-3=0或X+VJy-3=0.16.(理)菱形ABCD的顶点A,C在椭圆x2+3y2=4上,对角线BD所在直线的斜率为1.(1)当直线BD过点。1)时,求直线AC的方程；当NABC=60。时,求菱形ABCD面积的最大值.解:(1)由题意得直线BD的方程为y=x+l.四边形ABCD为菱形,AC_LBD.设直线AC的方程为y=-x+n.1 X2+3y2=4.zr9>由47得4x2-6nx+3n2-4=0.y=-x+n,A,C在椭圆上，4343A=-12112+64>O,解得<<.,3n3n2-4设A(x1,y),C(x2,y2),那么X+X2=-,X1X2=-,y=-x+n,y2=-X2+n.y1+y2=4,AC的中点坐标为2 44由四边形ABCD为菱形可知,点(即,4)在直线y=x+l上.44.'=即+1,解得n=244工直线AC的方程为y=x-2,即x+y+2=0.(2)V四边形ABCD为菱形,且NABC=60。，AB=BC=CA."SSJfiABCD=IAC.2由(1)知IACl2=(x-X2)2+(y-y2)2=-.所以h=2,Sabc=IBh=2.当n=0时,S菱形bcd取得最大值43 .
