求函数最值常用的方法及经典例题讲解.docx
求函数最值常用的方法及经典例题讲解知识点：一、函数最大(小)值定义最大值：一般地，设函数y=(x)的定义域为1,如果存在实数M满足：(1)对于任意的x,都有f(x)M;存在/,使得/()=.那么，称M是函数y=(x)的最大值.思考：依照函数最大值的定义，结出函数y=(%)的最小值的定义.注意：函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在/,使得f(%)=M;函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x,都有/(x)M(/(x)>n).二、求函数最大(小)值常用的方法.案例分析：例1、画出以下函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能表达函数的什么特征？®/(x)=-x+3®/(x)=-x+3x-l,2/(R)=Jt2÷2x+1/(x)=X2+2x+1x-2,2类型一、直接观察法对于一些比拟简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等，其值域可通过观察直接得到。y二LxU,2例1、求函数R的值域例2、假设函数/(幻=?,那么该函数在(1,+8)上()2+log2XA、单调递减，无最小值B、单调递减，有最小值B、单调递增，无最大值D、单调递增，有最大值小试牛刀：1、求函数y=二一在区间2,6上的最大值和最小值.X-I2、求函数/（x）=XJ在7,2上的最小值？2x+3x3、f+y2=,求二的取值范围。x-2类型二、反函数法（原函数的值域是它的反函数的定义域）3x+4y例：求函数5x+6值域。实战训练场：D求函数y=3%+1的值域:X22）函数y=手的值域是.1+x类型三、倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况y/x+2y=例1、求函数X+3的值域。例2、求函数的值域。类型四、配方法配方法是求二次函数值域最根本的方法之一（二次函数.v=G2+b+cQ0）0>0fl也值域是产C-J+00）；aV时,值域是（0,处士）。4aAa例、求函数y=d-2+5,xR的值域。实战训练场：1、求函数y=3/_x+2X（-3,5的值域；2、求函数y=J-J-6-5的值域；类型五、根判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简例I、求y=212型的最值%-x÷l例2、求函数y=+'的值域；X例3、函数y="也"eR)的值域为求常数力X2+1实战训练场：x2-r(1)求函数，=T的值域x2-x+2x2+4x-7(2)求函数y=：十”的值域x2+2x+3二、y=2+W+Ce,力)类型ITix+nERjw"g八"p(mx+n)2+q(mx+n)+k/、k解法：用代定系数法将匕化为y=P(MX+)+qtnx+nmx÷n例1、求y=厂3x+3XCJ)的最小值x-22三、。=Tr(xwej)类型解法：用代定系数法将它化为：再利用函数y=r+2的图象和单调性来解。X例I、求y=-r-(5x6)的最值x-3x+6变式训练：qrx2-4x+5z、5、AAZafc21、求函数y(x;)的值域2x-42炉+52、函数y=：的最小值?类型六、换元法："形如y=0x+8士三万(cO)的函数，可令=JCX+d;例1、求函数y=2x+41-X的值域例2、求函数y=x+Jl-+的最大值.练习：(1)求函数y=2x-i的值域类型七、函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用己学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。例1：求函数V=Jl的值域。er+1例2、求出以下函数的值域:1、V=2、V=y-2COSX1+sin例3、求磁V_2-sinx蹑雄不嚎小值y-2-cosX2sin-ll + cos<9的值域。,r,j4一翊2sn-l例4、求函数y=,y=1+sin趟I、三m½例L短数y=2i+log3i(2xl°)fl(j三ax+bz八、y=(c0)m筋cx+da½wLX与y-)a踊，舸处另l-3xy=例1、求函数2x+l的值域J例2、设函数y=2-+lI,求-2WxW2时,y的最大值和最小值.IXy例3、函数一3logx一一,求函数ylog?一log2-的最大值和最小值。2224例3、-llogxl,求函数y=+2的最大值和最小值。1、求函数y=x-3-x+l的最大值和最小值.2、求函数,v=x-l+x+4的值域3 .直线/:2xy+l=0和点A(-1,2)、B(0,3),试在，上找一点P,使得|尸耳+归BI的值最小,并求出这个最小值。4 .点A(l,l),8(2，点P在直线尸氐上，求|尸才+|叫2取得最小值时P点的坐标。5 .求函数/(x)=Jf-2+2+J2-4x+8的最小值,6、蛔y=J(x-2)2+J(x+8)2蹒墩8、=&-6x+13+Vx2+4x+5血域9、y=x2-6x+13-x2+4x+510、求函数/(x)=j8x-JI4xf48的最小值和最大值。11、假设X,yR且满足：X?+y2+2孙+-y=0,那么XmaX=为皿=。12、假设x,yH,lY+y24.求=V+肛+产的最值。13、设XAo,y>0且x+2y=:，求当,y为何值，W=IOgl(8肛，+4/+1)取得最大值和最小值,2并求出最大值和最小值。14X,yR且3/+2/-6x=0,求x?+2y?的值域。
