求通项公式的几种方法.docx

求通项公式的几种方法山东徐美春聂洪玉数列的通项公式是研究数列的重要依据，下面介绍几种求数列通项公式的方法.一、观察法一个数列的前几项，观察其特点，写出通项公式.例1观察以下数的特点，写出每个数列的一个通项公式.(1) 1,U:金.3253815247 q=(T)"( + l)2-l '解：(1)4=上+l二、由/的前项和Sn与间的关系，求通项数列/的通项公式，可以求出”“的前项和S,l=4+/+/+4；反过来，假设/的前项和S“，如何求”呢？；Sn=Ol+a2+%+%，SZ=%+a2+4i("22),当=1时，al=S1；当时，an=Sn-Sn.i.Sl(n=1>Sn-SZ(心2).此处应注意an=Szr-Sw.,并非对所有的N*都成立，而只对当，2且为正整数时成立，因此由S“求见时必须分=1和22两种情况进行讨论.例2设数列4的前项和S”=W-(N*),求数列q的通项公式.解：当=1时，a1=S1=3×I21=2；当22时，all=Sn-Sn,l=3-w-3(w-1)2+w-1=6w-4.此式对n=1也适用.:.an=6w-4(N*),点评：利用数列的前项和S.求数列的通项公式/时，要注意q是否也满足勺=St-Sz522)得出的表达式，假设不满足，数列的通项公式就要用分段形式写出三、利用公式求通项公式一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差代入公式即可求出通项.例3等差数列的前项和记为S“，=3(020=50,求通项凡.解：Valo=1+9t=3O,生°=4+194=50,一，得IOd=2。d=2.代入，得4=12.,.an=2n+10.四、利用递推关系，求通项公式根据题目中所给的递推关系，可构造等差数列或采取叠加，叠乘的方法，消去中间项求通项公式.例4根据以下条件，求数列的通项公式5N*).(1) 数列a,J中，a2=2>/5an=an_x+y3(n2)；(2) 数列f,中，4=1,fl+=an-3n(3)数列q,中，4=1,h=%+%解：(1)因为%=4+6，所以4=%-6=G又所以/成等差数列，公差为小.所以4=G+(一I)G=6.(2)因为a”+1一。“=一3，所以a2-4=-3xl,a3-a2=-3×2f-a3=-3×3»>=-3(w-l).将上面一1个式子叠力口，得为一q=3(1+2+3+/1-1)=-3×=-(n2-n)f所以a0=l-(t2-n)=-n2+1.(3)由4=a,1+卫，变形为也=巴二，n+lann+la23a34an/:+1/.=9=-，=-42a23q-n将上面的式子叠乘，得生=山.q2a=g(+D五、两式相减，消项求通项例5数歹Jqf满足q+24+%+nan=n(n+l)(w+2),求解：由题意4+2/+3/+(1)“_=(-1)(+1)(22),Xa1+2a2+必+nan=n(n+1)(+2)>两式相减，得nan=3n(n+1)./.an=3(+1).又=1时，也适合上式，/.a”=35+1).总之，求数列通项公式的方法有很多，同学们要在实践中注意总结，寻找解题规律.