第02讲_解直角三角形(学生版).docx
第02讲一解直角三角形学生版阂知识图谱在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形.二.解直角三角形要用到的关系1.2.3.三边之间的关系a2+b2=c2两锐角之间关系ZA+ZB=90o边角之间的关系ZA的对边a.DsinA=-=,SinB=斜边CcosA=tanA=ZA的邻边hd斜边CZA的对边邻边FNB的对边斜边二1NB的邻边a斜边三.圆中的相关计算1 .利用勾股定理和锐角三角函数求解圆中有关直角三角形的边长问题;2 .利用直径所对圆周角为90。，构造直角三角形；3 .利用切线的性质求解线段长度.一.考点：解直角三角形，与圆结合求解线段长度.二 .重难点：1 .特殊三角函数值的记忆以及应用；2 .圆中直径与所对圆周角的构造以及直角三角形选取的问题;3 .射影定理与锐角三角函数结合.三 .易错点：特殊三角函数值的三边比例对应关系.解直角三角形例题1在aABC中，NC=90。，BC=4,sinA=-,则边AC的长是(3A. 25B.6cID. 213如图，在四边形 ABCD 中，Z = ZD = 90o, Ae = 3, BC = 2,4tan A = -,则 8 =3AD是BC边上的高，tanC=r AO3旗，AB=4,求aABC的周长.244如图，在AABC中，SinB=-,点F在BC上，AB=AF=5,过点F作EF_LCB交AC于点E,且AE：EC=3：5,5求BF的长与SinC的值.（1）求AABC面积;（2）AC的垂直平分线交AC于点D,交BC于点E.求DE的长.6已知点。是四边形ABCD内一点，AB=BC,OD=OC,ZABC=ZDOC=.（1）如图1,=60o,探究线段AD与OB的数量关系，并加以证明；（2）如图2,=120o,探究线段AD与OB的数量关系，并说明理由；（3）结合上面的活动经验探究，请直接写出如图3中线段AD与OB的数量关系为（直接写出答随练7已知：AABC中，ZBCA=90o,CD_LAB于D,若AD=I,AB=3,那么CoSB的值是()也A.3逅也逅B.2C.3D.38在RtZXABC中，NC=90°,tan=-,则CoSA=()3Ag5R3334n534d.-C.D.434349如图，在RlAABC中，ZC=90o,NA的平分线交Be于点E,EFj_AB于点F,点F恰好是AB的一个三等分(1)求证：ZkACEgAAFE;(2)求tanNCAE的值.10在RtZABC中，NACB=90。，点D在边AC上，DE_LAB于点E,连CE.(1)如图1,己知AC=BC,AD=2CD,AADE与aABC面积之比；求tanNECB的值；(2)如图2,已知空="=-求tan/ECB的值(用含k的代数式表示).ACDCIl如图，AD、BE是AABC的两条高，过点D作DFlAB,垂足为F,FD交BE于M,FD、AC的延长线交于点N.(1)求证：ABFMsNFA;(2)试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论;(3)若AC=BC,DN=12,tan"=求线段AC的长.212如图1,过等边三角形ABC边AB上一点D作DEBC交边AC于点E,分别取BC,DE的中点M,N,连图1图2图3(1)发现：在图1中，=；BD(2)应用：如图2,将AADE绕点A旋转，请求出的值；BD(3)拓展：如图3,AABC和AADE是等腰三角形，且NBAC=NDAE,M,N分别是底边BC,DE的中点，若BD±CE,请直接写出&的值.BD.J圆中的相关计算例题13如图，在平面直角坐标系中，已知。A经过点E、B、C、0,且C(0,6)、E(8,0)、O(0,0),则cos/OBC14如图，直线I与。相切于点D,过圆心。作EF1交。O于E、F两点，点A是。上一点，连接AE,AF,并15如图，以AABC的边AB为直径作(D0,与BC交于点D,点E是弧BD的中点，连接AE交BC于点F,ZACB=2ZBAE.(1)求证：AC是。0的切线；(2)若SinB=*,BD=5,求BF的长.316如图，PA为。的切线，A为切点，直线PC)交。于点E,点F,过点A作PC)的垂线AB垂足为D,交。C)于点B,延长Bc)与。O交于点C,连接AC,BF.(1)求证：PB与。相切；(2)若AC=I2,tanZF=-,求CoSNACB的值.217如图，。是aABC的外接圆，AC为直径，AB=BD,BEIDC交DC的延长线于点E.(1)求证：乙I=乙BCE；(2)求证：BE是。0的切线：(3)若EC=I,CD=3,求COS乙DBA.随练18如图，已知。的半径为1,锐角AABC内接于。0,BD_LAC于点D,C)M_LAB于点M,则SinNCBD的值等于()A.0M的长B.2OM的长C.CD的长D.2CD的长19如图，正方形ABCD的边长AD为。的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合，则tanZAEF=.aL2d20如图，A48C内接于。/8是直径，。的切线PC交射的延长线于点只OF/BC,交2C于点£交.PC于点月连接力£(1)求证：2尸是。的切线；(2)已知。的半径为4,AF=3t求线段4C的长.21如图，ACB,AB=AC=5,BC=6,点D在aACB外接圆的AC上，AE_LBC于点E,连结DA,DB.(1)求tanND的值.(2)作射线CD,过点A分别作AH_LBD,AF±CD,垂足分别为H,F.求证：DH=DF.22如图，AABC内接于。O,AB=AC,CC)的延长线交AB于点D(1)求证：Ao平分NBAC；(2)若BC=6,SinZBAC=-,求AC和CD的长。523如图，AB为。的直径，弦BC,DE相交于点F,且DE_LAB于点G,过点C作。O的切线交DE的延长线于点H.(1)求证：HC=HF5(2)若。O的半径为5,点F是BC的中点，tanHCF=m,写出求线段BC长的思路.锐角三角函数的实际应用知识精讲一.仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线的上方是仰角；视线在水平线的下方是俯角，如图一所示.(上仰二.坡度与坡角坡度(坡比)：坡面的铅直高度和水平宽度/的比叫做坡度.用字母i表示，i=:=tan坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角.用字母表示.三.方位角指南或指北方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方位角.四.用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是：说明：解直角三角形的方法：有斜则弦，无斜则切，宁乘毋除，取原避中.五.用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：1 .审题；通过图形，弄清己知和未知.2 .找出相关的直角三角形（或通过辅助线作出）；把问题转化为解直角三角形问题.3 .根据直角三角形边、角关系解直角三角形.嗣三点剖析一.考点：解直角三角形的应用二.重难点：把实际问题转化为解直角三角形三.易错点：1.仰角和俯角理解错误；2.检验答案是否符合实际情况.二锐角三角函数的实际应用例题24如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆力反已知观测点。到旗杆的距离CE=8m,测得旗杆的顶部Zl的仰角NECA=30。，旗杆底部8的俯角NECe=45。，那么，旗杆/18的高度是（）A.（82+83）mB.（8+83）mcj+翠卜D1+孥卜25已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的坡角度数约为（备用数据：tan310=cot5900.6,sin370=cos5300.6）26有一轮船在A处测得南偏东30。方向上有一小岛P,轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45。方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A,B之间的距离是（）海里.A.103BlO2-10c.lD,10>3-1027某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36。，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处,斜面AB的坡度（或坡比）i=L2.4,那么大树CD的高度约为（参考数据：si36o0.59,s36o0.81,ta36o0.73）B.17.2 米C.19.7 米D.25.5 米28如图,在一条笔直的东西向海岸线I上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C,灯塔C距码头的东端N有20km.以轮船以36kmh的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30。方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60。方向，且与灯塔C相距12km.（1）若轮船照此速度与航向航向，何时到达海岸线？（2）若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由.（参考数据：正=14,31.7）b随练29如图'已知楼高他为5。加,铁塔基与楼房房基间的水平距离必为5。/塔高”为空萼%下列结论中，正确的是（）A由楼顶望塔顶仰角为60oB.由楼顶望塔基俯角为60。C.由楼顶望塔顶仰角为30。D.由楼顶望塔基俯角为30。30如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15。，山脚B处的俯角为60。，巳知该山坡的坡度i（即tan乙ABC）为1：遂，点P，H,B,C,A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH_LHC.（1）山坡坡角（即团ABC）的度数等于度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：y=L732）.HRC31如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15。方向的A处，若渔船沿北偏西75。方向以40海里/小时的速度航行,航行半小时后到达C处,在C处观测到B在C的北偏东60。方向上,则B、C之间的距离为（）平A.20海里B.10®海里C.202海里D.30海里32如图，活动课上，小王想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度，她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30°,然后，她沿着坡度i=l：1的斜坡步行15分钟到达C处，此时，测得点A的俯角是15°.己知小王的步行速度是20米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上，求出建筑地所在山坡AE的高度AB.（精确到0.1米，参考数据：214如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30。方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75。的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据:cos75o=0.2588,sin75o=0.9659,tan75=3.732,.
