04三角形中的导角模型-高分线模型、双（三）垂直模型（教师版）.docx

专题04三角形中的导角模型高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1：高分线模型条件：AZ）是高，AE是角平分线例1.（2023秋浙江八年级专题练习）如图，在二ABC中，NA=30。，/8=503Co为/ACB的平分线,CE上AB于点、E,则NECD度数为（）【答案】C【分析】依据直角三角形，即可得到NBCE=40。，再根据NA=30。,8平分/AC8,即可得到NBCz）的度数,再根据NDCE=N38-NBCE进行计算即可.【详解】解：=50o,CElABf.ZBCE=40°,X.ZA=30。，Co平分ZACB,，NBCD=gZBCA=（180o-50°-30°）=50°,.NDCE=ZBS-ZBCE=50。-40。=10。,故选：C.【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是1800是解答此题的关键.例2.（2023春河南南阳七年级统考期末）如图，在AABC中，01=02,G为A。的中点，BG的延长线交AC于点石，尸为AB上的一点，。尸与AD垂直，交AO于点”，则下面判断正确的有（）2'BDC4。是"BE的角平分线；BE是AABO的边AD上的中线；C”是AACO的边A。上的高；4”是ZkAb的角平分线和高A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【详解】解：根据三角形的角平分线的概念，知AG是AABE的角平分线，故此说法错误；根据三角形的中线的概念，知BG是AABO的边AO上的中线，故此说法错误；根据三角形的高的概念，知CH为AACD的边上的高，故此说法正确；根据三角形的角平分线和高的概念，知A”是AACF的角平分线和高线，故此说法正确.故选：B.【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段.透彻理解定义是解题的关键.例3.(2023安徽合肥七年级统考期末)如图，已知A。、AE分别是RtZkABC的高和中线,AB=9cmtAC=12ctm,BC=IScm,试求：(I)A。的长度；(2)AACE和aABE的周长的差.BDEC【答案】(1)A。的长度为与cm；(2)ZXACE和AABE的周长的差是3tw.【分析】(1)利用直角三角形的面积法来求线段AD的长度；(2)由于AE是中线，那么BE=CE,再表示SIACE的周长和mABE的周长，化简可得OACE的周长-0ABE的周长=AC-AB即可.【详解】解：(1)国BAC=90°,AD是边BC上的高，Sacb=ABAC=BCAD,AB-AC9×1236z、m田“心上360AB=9cm,AC=12cm,BC=15cm,SAD=(cm),即AD的长度为一cm；CB1555(2)(3AE为BC边上的中线，0BE=CE,回团ACE的周长-0ABE的周长=AC+AE+CE-(AB+BE+AE)=AC-AB=12-9=3(cm),即0ACE和团ABE的周长的差是3cm.【点睹】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法.例4.（2023广东东莞八年级校考阶段练习）如图，在JWC中，AD,AE分别是二45C的高和角平分线,若/8=30。，NC=50o.（1）求NTME的度数.（2）试写出ZzME与NC-NB关系式，并证明.（3）如图，F为AE的延长线上的一点，于。，这时NAFz）与NC-NB的关系式是否变化，说明理由.【答案】(I)Ioo(2)NDAE=T(NCN8)(3)不变，理由见解析【分析】(1)根据二角形内角和求出/84C,根据角平分线的定义得到N84E=5()o,根据高线的性质得到NAz出=90。，从而求出44)=60。，继而根据角的和差得到结果：(2)根据角平分线的定义得到NBAE=LBAC,根据三角形内角和求出NEAC=90。-</8-gNC,根据角的和差得到结果；(3)过A作222AGLBCG,结合(2)知NEAG=T(NC-N3),证明EDAG,得到ZAfD=NE4G,即可证明.【详解】(1)解：0ZB=3Oo,ZC=50°,0ZfiAC=180o-50o-30°=100°,(3AE平分/朋C,0ZBAE=ZCAE=ZBAC=50°,IaAD是高，(SZAD=90o,0ZB=3Oo,0Z4D=6Oo,BZZME=ZBAP-ZBAE=I0°：(2)ZDAE=(ZC-ZB),证明如下：ElAE平分NBAC,0ZE4C=ZBAC,0ZBAC=18Oo-ZB-ZC,0E4C=(18Oo-ZB-C)=9Oo-lzB-lC,0ZEAD=ZEAC-ZDAC=90o-B-C-(90o-C)=(ZC-ZB)；(3)不变，理由是：如图，过A作AG_L3C于G,由(2)可知：ZEAG=I(ZC-ZB),AG±BC,NAG3=90。，FDtBC,.ZFDC=90°,:.ZAGD=ZFDC,.FDAG,.ZAFD=NEAG,:.ZAFD=-（ZC-ZB）.2【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质,熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键.模型2：双垂直模型结论：NA=NC；®B=AAFD=CFE,ABcD=AEBC0例1.（2023陕西咸阳统考一模）如图，在AABC中，）,8E分别是AB,AC边上的高，并且CR8E交于点P,若NA=50。，则/8PC的度数为（）A.130oB.120oC.IIOoD.100°【答案】A【分析】根据题意和直角三角形的两个锐角互余可求得NABE的度数，再根据三角形的外角即可得.【详解】解：团BE是AC边上的高，团NBEA=90。，0ZA=5Oo,团NABE=90。-NA=90°50°=40°,回CD是AK边上的高，0ZCDB=9Oo,团NBPC=Na+NABE=90。+40。=130°,故选：A.【点睛】本题考查了余角，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点.例2.（2022秋安徽宿州八年级校考期中）如图,在sABC中，CO和5E分别是AAAC边上的高,若Cf>=12,ACBE=16,则去的值为（）.AB3 - 5A.3 - 4B.5 - 8D.【分析】根据三角形的高的性质，利用等积法求解即可.11,123【详解】团SABC=-48CO=-ACBE,012A=16AC,团一故选B.22AB164【点睛】本题考查与三角形的高有关的计算问题.根据三角形的面枳公式得HlAB8=AC8E是解题关键.例3.（2023春河南周口七年级统考期末）如图，在二ABC中，AB=S,BC=10,CF/4?于点F,ADlBC于点O,Ao与CF交于点E,/8=46。.求/AEC的度数.若AD=6,求Cb的长.【分析】（1）数形结合，利用三角形内角和定理求解即可得到答案；（2）利用等面积法，由S.=31。4。=3乂3.。尸代值求解即可得到答案.【详解】（1）解：CF-LAB,团NCEB=90。，0Z=46o,0ZBCF=44o,AD±BCf团ZADC=90。，0ZAEC=ZADC+ZBCF=90o+44o=134o：DgC 6x1015AB 8 T(2)解：QCF，AB,ADJ.BC,SabcBC-AD=ABCF,团A8=8,8C=10,AD=6,0CF【点睹】本题考查三角形综合，数形结合，利用等面积法求解是解决问题的关键.模型3：子母型双垂直模型（射影定理模型）（三垂直模型）4结论：NB=CAD;NC=/84。；AB-AC=ADBCo例L（2023广东广州七年级校考阶段练习）如图，在AACB中，NAC8=90。，CO_LA8于。，求证:【答案】见解析【分析】根据COJ_48可得NAcB=NCD8=90。，再根据N8+NBCD=N88+NACO=90。,即可求证.【详解】证：0CD±AB,ZAC8=90。团ZACB=Ne力8=90。又团NB+NCDB+NBCD=180o.0NB+NBCD=90°又团ZAa=NBCD+ZACD=90o,0ZB+NBCD=NBCD+ZACD=90o3Z=ZACD【点睛】此题考查了三角形内角和性质的应用，解题的关键是熟练掌握三角形内角和的性质.例2.（2023山东泰安七年级校考阶段练习）如图，ADtB尸分别是0A8C的高线与角平分线，BF,Ao交于点E,01=02.求证：0A8C是直角三角形.【答案】见解析【分析】根据Ao是MBC的高线,可得就EZ）+0E8Q=9（,根据角平分线的定义可得财8E=0E5D,观察MEQ与0AE尸的位置，可知是一组对顶角，进而进行等量代换可得财EM8E=9（,至此结合已知不难得到0A尸EHMBE=90。，由此解题.【详解】证明：由题意得：ADSBC,8”平分0A8C,00ED+0EBD=9Oo,ABE=团EBD,ED-ABE=9Qof又00E尸=ElBEO,00AE尸+0A8E=9O°,0（MEF=0A三,酿ArE+0ABE=90°,00AF=9Oo,即a48C是宜角三角形.【点睛】本题考查了三角形高线、角平分线的定义，对顶角相等，熟记角平分线的定义与宜角三角形的定义是关键.例3.（2022秋北京通州八年级统考期末）如图，在JWe中，NABC=90。，BDlACf垂足为O如果C=6,BC=3,则80的长为（）A.2B.IC.33D.不【答案】D【分析】先根据勾股定理求出A8,再利用三角形面积求出8。即可.【详解】解：团WC=90。，AC=6,BC=3,团根据勾股定理=JAC?BC?=痣=3=3小，回BDJ.AC,SABC=-ABBC=-ACBDiBJ-×33×3=-×6BD,解得：8。二”.故选择D.22222【点睛】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理,三角形面积等积式是解题关键.例4.（2023春江苏苏州七年级苏州中学校考期中）已知，在以8C中，NAeB=Na）B=/（0<m<180）,4E是角平分线，。是AB上的点，AE.CD相交于点立若z=90时，如图所示，求证：NCFE=NC七尸；（2）若小。90时，试问NaE=NCEF还成立吗？若成立说明理由；若不成立，请比较NCFE和NCEF的大小，并说明理由.【答案】见解析；（2）不成立；当相>90时，ZCFE>ZCEF；当用<90时，NCFE<NCEF；理由见解析.【分析】（1）证明NC4E=/RM：,rtlACB=ZCDB=90o,证明NACD=N由三角形的外角的性质可得NCEE=NACD+NC4E,NCEF=B+/BAE,从而可得结论.（2）证明NcFE-NCW=NAb-NB,结合三角形的内角和定理可得Z.CFE-Z.CEF=w-ZCD-(180-w-ZBCD)=2-18