2024二次函数复习专题讲义.docx
二次函数【学问清单】一、清单梳理1、i般的，形如=0¥2+云+（;（。0,0,6,（7是常数）的函数叫二次函数。例如y=-2/=2f+6,y=-；工2一4%,丁二一5无2+9-6等都是二次函数。留意：系数不能为零，"C可以为零。2、二次函数的三种解析式（表达式）一般式：y=f+b+c（wO,c是常数）顶点式：丁=（工一力）2+%（4,女为常数，且w）,顶点坐标为（,左）交点式：y=a（x-X）（X-x2）（a0,其中七,超是抛物线与X轴的交点的横坐标）3、二次函数的图像位置与系数,Ac之间的关系。：确定抛物线的开口方向及开口的大小。当。>0时，开口方向向上；当<0时，开口方向向下。Ia卜确定开口大小，当Ial越大，则抛物线的开口越小；当Ial越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。c：确定抛物线与y轴交点的位置°当。>0时，抛物线与y轴交点在y轴正半轴（即X轴上方）；当c<0时，抛物线与y轴交点在y轴负半轴（即X轴下方）；当C=O时，抛物线过原点。反之，也成立。和人：共同确定抛物线对称轴的位置。当-2>0时，对称轴在y轴右边；2aS-<0F,对称轴在），轴左边；当-2=0（即当方=0时）对称轴为y轴。2a2a反之，也成立。特殊：当X=I时，Wy=a+b+c;当X=-I时，y=a-b+co反之也成立。4、二次函数y=(x-z>+女的图像可由抛物线y=o向上(向下)，向左(向右)平移而得到。详细为：当也>0时，抛物线>二如2向右平移力个单位；当z<o时,抛物线丁=分向左平移-个单位，得到y=(x-z)2;当2>0时，抛物线y=a(x-z)2再向上平移上个单位，当上<0时，抛物线y=(-l)2再向下平移一女个单位,而得至Jy=(x-1。+%的图像。5、抛物线y=ax2+bx+c(a0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的关系：若抛物线y=0r2+u+c(H)与X轴有两个交点，则一元二次方程0?+法+c=o(o)有两个不相等的实根。若抛物线y=ax2+bx+c(aO)与X轴有一个交点，则一元二次方程0?+法+c=o(o)有两个相等的实根(即一根)。若抛物线y=ax2+bx+c(aO)与X轴无交点，则一元二次方程0?+法+c=o(o)没有实根。6、二次函数y=i+®+。,。力1是常数)的图像与性质关系式y=ax2+hx+c(a0)y=ax-)2+k(a0)图像形态抛物线顶点坐标b4ac-b2(z)2a4。(h,k)对称轴bX=2ax=h增a>0在图像对称轴左侧，即X<_2或X<z,)，随X的增大2a而减小；在图像对称轴右侧，即x>-2或x>，)，随2aX的增大而增大；减性4<0在图像对称轴左侧，即x<-2或尢<力，），随X的增大2a而增大；在图像对称轴右侧，即x>-2或X>2,y随2aX的增大而减小；最大值最小值a>OMZbd,ac-b2当2。时'W小值一4。当X二人时，）,最小值二ka<02匕I、，_4*一/当工=/，时，大值=k当“一2。时'W大值4a【考点解析】考点一：二次函数的概念1.下列函数中是二次函数的是（）83,y=8x2+1B.y=8x1C.y=D.y=-4xx2 .已知函数y=（"2-2z）XWTwM-3,加+（加+）是二次函数，则Zn=o3 .若函数y=（w-2）-2+三是二次函数，则该函数的表达式为y=«考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用1. 已知点（。,8）在二次函数丁=办2的图象上，则。的值是（）A.2B.-2C.±2D.±22. （2024,泰安）若二次函数y="+"+c的X与的部分对应值如下表，则当X=-I时，y的值为（）Jt-7-6-5-4-3-2y-27-13-33533. (2024年太原)过(TO)(3,0)(1,2)三点的抛物线的顶点坐标是()，A(1,2)B(l,)C.(-l,5)D.(2,y)4、无论团为何实数，二次函数y=-Q-m)x+m的图象总是过定点()A(1,3)5.(1,0)C,(-l,3)D(-l,)5 .(2024,石家庄一模)如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=公+°的图象顶点为a(-2,-2),且过点8(0,2),则y与1的函数关系式为()A.y=X2+2B.y=(x-2f+2C.j=(x-2)2-2Dy=(X+2)?-26 .如图所示，二次函数V=0/+从+c的图象经过A、B、C三点,(1)视察图象写出A、氏C三点的坐标，并求出此二次函数的解析式;(2)求出此抛物线的顶点坐标和对称轴.考点三：二次函数的图像与性质的综合应用(与系数©Ac的关系)1. (2024,兰州)已知二次函数y=(x+l)2-b(0)有最小值1,则。、I的大小关系为()A.a>hB.a<bC.a=hD不能确定2、二次函数y=2一以-1的最小值是o3、(2024,兰州)二次函数旷=-2(%-1)2+3的图象的顶点坐标是()A(1,3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(-1,-3)4、抛物线y=-X（X-2）的顶点坐标是（）A(-1,-1)B,(-1,1)C(l,l)D.(1,-1)5.（2024,兰州）抛物线y=（x+2）2-3可以由抛物线y=/平移得到，则下列平移过程正确的是（）A先向左平移2个单位,A先向左平移2个单位,C先向右平移2个单位, 。.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位再向下平移3个单位再向下平移3个单位再向上平移3个单位6、(2024,南京)已知下列函数：(1)y=X2；(2)y=-2i(3)j=(x-l)2+20其中，图象通过平移可以得到函数y=+2x-3的图象的有（填写全部正确选项的序号）。7、（2024,上海）将抛物线丁=一一2向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是O8、将抛物线y=-/向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A.y=-X2+2B.y=-(x+2)2C.y=-(x-2)2D,y=-X2-29.把函数户9的图象向左平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的图象的解析式是.10. （2024,长沙）二次函数y=0+云+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是（）A.a>0B.c>0C.b2-4ac>0D.a+h+c>011. （2024,山西）已知二次函数y=?+法+c的图象如图所示，对称轴为直线冗=1,则下列结论正确的是（）A.ac>08.方程ar?+bx+c=0的两根是*=一1,X2=3C.2a-b=0D当x>0时，y随X的增大而减小12、（2024,呼和浩特）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+加和函数y=-tnx2+2x+2（机是常数，K/H0）的图象可能是（）C.c<0Da+0+c>014.（2024年湖州）已知二次函数y所示，/Tv=*+6广。的图1£象如巾/IAB.C.D.13、（2024,重庆）已知抛物线y=。/+云+c（工0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A.a>0B.b<0则在“V0,6>0,CV0,厅一4公0断是（）A.B.C.D.15、在反比例函数中y=（O）,当x>0时，X数y=以2一"的图象大致是（）1LJ”中正确的判/；K/!y随X的增大而减小，则二次函4AB.C.D.【基础闯关】1、已知二次函数y=02+数+c的图象如图所示，那么这个函数的解析式为O2、已知二次函数y=3-i2x+13,则函数y的最小值是。3、(2024,济宁)将二次函数y=f-4x+5化成y=(x-z)2+%的形式，则y=6、(2024,兰州)二次函数y=-2(x-iy+3的图象的顶点坐标是()A(1,3)B.(-1,3)C.(1,-3)D.(-1,-3)7、(2024,泰安)对于抛物线y=-J+l)2+3,下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x=l;顶点坐标为(-1,3)；x>l时，y随X的增大而减小，其中正确结论的个数为()A.1R2C.3DA【拓展提高】1、若抛物线y=/一21+加的最低点的纵坐标为，则"2-的值是2、抛物线y=2+加;十°的顶点坐标是且过点（0,5）,那么二次函数y=d+云+C的解析式为o3、（2024,兰州）抛物线y=+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=-2-3,则b、C的值为（）Ab=2,c=2B.b=2,c=0C.b=-29c=-lD.b=-3,c=24、（2024,南宁）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是XtjA.k=nB.h-mC.k<nD.h<0,k<0/1：×5、（2024,丽水）在直角坐标系中，点A是抛物线>=/在其T=-WghRk次象限上的点，连接。4过点。作OBJLoA，交抛物线于点B,以OA、OB为如图1,当点A的横坐标为一时，矩形AOBC是正方形；如图2,当点A的横坐标为-2时，2求点B的坐标；将抛物线y=X2作关于X轴的轴对称变换得到抛物线y=-%2,试推断抛物线y=一无2经过平移交换后，能否经过AB,C三点？假如可以，说出变换的过程；假如不行以，请说明理由.
