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课题空间直角坐标系与向量课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)认识空间直角坐标系(2)了解向量的坐标(3)熟悉向量的模与方向余弦(4)掌握向量的代数运算素质目标：(1)通过用类比的数学思想方法探究新知识，使学生感受新旧知识的联系和研究事物从低维到高维的一般方法(2)通过实际问题的引入和解决，让学生体会数学的实践性和应用性，感受数学刻画生活的作用，不断地拓展自己的思维空间教学重难点教学重点：空间直角坐标系，向量的坐标，向量的模与方向余弦教学难点：空间思想的建立，向量的代数运算教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内容【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到问题导入【教师】提出问题：你是如何理解三维空间的？【学生】聆听、思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言和讲解，引入新的知识点，讲解空间直角坐标系与向量的相关知识一、空间直角坐标系【教师】提出空间直角坐标系将平面直角坐标系所在的平面置于空间中，并过点。作一垂直于此平面的数轴OZ,这样Ox,Oy,Oz就构成一空间直角坐标系，如图7-1所示.点。仍称为坐标原点，Ox,Oy,Oz分别称为X轴(横轴)、y轴(纵轴)、Z轴(竖轴)，统称为坐标轴.它们的指向符合右手法则，即用右手握住Z轴，四指由X轴正向转到y轴正向时，大拇指的指向规定为Z轴的正向.三个坐标轴两两决定的三个平面Xoylyz,ZoX,称为坐标平面.三个坐标平面将空间分成八个部分，称为八个卦限.设M是空间的任意一点，如图7-2所示.从点M作Xoy平面的垂线与Xoy平面交于点M',M'称为点M在XOy面上的投影.设在平面直角坐标系XOy中的坐标为(X,y)l再过点M作Z轴的垂直平面与Z轴相交，设此交点在OZ轴上的坐标为z,这样，点M唯一确定了三个有序实数(x,y,z).图7-2反之，任给三个有序实数(X,y,z),先以1,y)为坐标在XOy平面上确定一点AT,再过M'作XOy平面的垂直线段MW,其长度为IZl,当z>0时，M在XOy平面的上方；当ZVO时，M在Xoy平面的下方;当z=0时，M即为AT.这样，三个有序实数(x,y,z)唯一确定了空间的一个点M(x,y,z)称为点M的空间直角坐标.可见，在空间直角坐标系中，空间中的点与三个有序实数是一一对应的.显然，坐标原点的坐标为(0,0,0),X轴上点的坐标为(x,0,0),VOz平面上的点为(0,y,Z).对于一般的点，如(2,3,-1),可如图7-3确定其位置.二、向量的坐标【教师】提出向量的坐标我们在中学学习了平面向量的坐标表示与运算.如果将平面向量推广到空间中，即得空间向量的坐标表示与运算.在空间直角坐标系中，以原点为始点，而终点分别为点(1,0,0),(0,I,0),(0,0,1)的三个单位向量，相应地记作i,j,k,称为该坐标系的基本单位向量.对于任一向量明把的始点置于原点，设此时的终点为何(4,%，/)，即而，如图74所示.图7-4根据向量加法OM=OM,+M1M,因为痂'=加+凉2，/应=3认，所以苏二丽+碗+函.再由数乘向量的定义，知OM1=ai,OM2=a2j,OM3=a7k.于是有AOM=ai+a2j+a2k.可以看出上式中三个系数(4,4,%)正好是点M的坐标，点M的坐标叫做向量的坐标，记作tt=t7»>>CIy.向量的坐标表示式有两种写法：a=ali+a2j+a3k=q,a2,a3.三、向量的模与方向余弦【教师】提出向量的模与方向余弦向量已由它的坐标表示出来了，怎样用向量的坐标来表示它的长度和方向呢？任给一个向量=q,a2,J，从图7-4可以看出它的长度是a=M=JoM.于是同=IoMl=(a；+出?+a；.(7-1)即向量的模等于其坐标平方和的算术平方根.【教师】通过例题，帮助学生掌握向量的模与方向余弦的应用例1设=2i-2j+A,求同.解同百=3.下面讨论如何用坐标表示向量的方向.设向量与X轴、y轴、Z轴正向的夹角称为向量的方向角，分别记为，/，了,显然。热独，/兀，如图7-5所示.当三个方向角确定后，向量的方向也就确定了.图7-5向量的方向角,y的余弦CoSa,cos尸，cosy称为的方向余弦由于0轰z,y,则方向余弦确定时，方向角也被唯一确定，所以可以用方向余弦来表示向量的方向.由图7-5可知，向量a=ali+a2j+ayk的其方向余弦为COSa=±COS/=鲁，cosy=兽.(7-2)IflI同IflI由此得cos2a+cos2+cos2-1.因此，向量"=cos,cos£,cosy)是与a同方向的单位向量.例2设向量=l,2,-3,求的方向余弦及.解的模为H=#÷22+(-3)2=14,所以IA2-3cosa=-=tcosp=-=fcosy=-=.141414o°4,四、向量的代数运算【教师】提出向量的代数运算与平面的向量代数运算类似，将平面的向量运算推广到空间向量中，有如下结论.设0=0工+/+。3人，b=bii+b2j+byk,则a±b(al±bl)i+(a2±b2)J+(a3±bi)k,Aa=a)i+(a2)j+(a3)k.由向量的数乘运算可知，向量a=a,a2,a3与向量b=bi»,)平行的充要条件是3=答=答(当分母为零时，分子也是零).bxh2h2【教师】通过例题，帮助学生掌握向量的代数运算例3设=3i+j4A,b=-i-4j+2k,求+b,-A3,|°+.解+,=(3-l)+(l-4)7+(+2)=2-3-2Ar,-=(3+l)+(l+4)y+(-4-2)il=4+5-6,-3a=-9i-3+12,a+l=y22+(-3)2+(-2)2=11.与平面上两点间的距离公式类似，同样可得空间中两点间的距离公式.已知两点必(耳，凹，z)和%(，%，22),M和区间的距离MMj就是向量疝卷2的模，所以12=(2-x1)2+(j2-y1)2+(z2-zl)2.例4设点A(I8(5,1,4),求AB.解I阴=J(5-l)2+(l+l)2+("0)2=6.【学生】聆听、思考、理解、记忆拓展训练【教师】讲解从低维到高维的一般方法【学生】聆听、记录、思考强化练习【教师】对学生迸行分组，每组选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，完成以下习题1 .在空间直角坐标系中，画出下列各点：A(2,3,4);B(0,3,4);C(1,2,-1);D(0,0,2);E(0,-3,0);F(2,1,0).2 .已知a=2i-j+k,求：(1)H；(2)的方向余弦；(3)°:3.已知两向量=4i6j+8A,5=i+2j7比，求：(1)a+b；(2)a-b；(3)2a+b；(4)a-2b.【学生】分组、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，并讲解解题思路【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点本节主要学习了空间直角坐标系，向量的坐标，向量的模与方向余弦，以及向量的代数运算【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成能力训练7-1的习题【学生】完成课后任务教学反思