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课题函数展开成幕级数课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解泰勒级数与麦克劳林级数(2)了解和掌握将函数展开成幕级数的方法(3)掌握幕级数的应用素质目标：(1)合理的以数学思维方式思考问题(2)善于对现实世界中的现象和过程进行合理的简化和量化，建立数学模型的素养教学重难点教学重点：泰勒级数，函数展开成幕级数教学难点：函数展开成幕级数的条件和方法，幕级数的应用教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课的知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到问题导入【教师】提出问遨：幕级数在收敛域内可以写成和函数，那么一个函数是否可以看成是由幕级数在收敛域内展开得来的呢？【学生】聆听、思考、讨论、回答传授新知【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解函数展开成幕级数的相关知识一、泰勒级数与麦克劳林级数的概念【教师】提出泰勒级数和麦克劳林级数的定义泰勒定理如果函数/(X)在含有X0的某个开区间3,b)内存在+1阶导数，则当X在(。，6)内时，/(X)可以表示为/(x)=/(x0)+/(x0)(xXO)+/°(xx0)+0(x)+RnM.(1-6)2!！其中余项Rn。严.(I'7)5+1)!这里的是介于X0与X之间的某个值.式(1-6)称为/(x)的泰勒公式，式(17)称为拉格朗日型余项.当二O时泰勒公式变成=/()+f,()(-0).其中，介于X。与X之间，这就是我们学过的拉格郎日中值定理，因此泰勒定理是拉格郎日中值定理的推广.式(1-6)中，当XO=O时，称为f(x)的麦克劳林公式，即/(x)=(0)+,(0)x+f(+-+x,t+xw+'.(l-8)2!！5+1)!其中，J介于O与X之间.如果/(x)在含X0的区间S,6)内存在任意导数，这时我们可以设想式(1-6)的项数趋向无穷而成为寨级数/(一)+八式0)(%-/)+1"'('-Xq)2+-毛)"+.(1-9)2!n记为Z-y-U-).幕级数(1-9)称为/(x)在点小处的泰勒级数.当Xo=O时，幕级数/(0)+/,(0)x+x2+'"°)%”+.(1-10)2!！称为/(X)的麦克劳林级数.现在我们讨论幕级数(1-9)在其收敛域上的和函数能否为f(x).旬：(1-8)中，令1(-v)=(0)+(0)+x2+.2!n则有RnM=fM-Sn(x).若在含0的一个区间上有IimRa)=O,则lim(x)=lim(x)-,(x)=f(x).11x>这说明幕级数(1-9)在这个区间上的和函数为/(x).反之，若鬲级数(1-9)的和函数为/(x),则IimRfl(x)=lim(x)-Sn(x)=f(x)-f(x)=O.因此得出结论：若函数f(x)在含0的一个区间上存在任意阶导数，则在这个区间上/()的麦克劳林级数的和函数为fW的充要条件是Iim凡(X)=O,此时/=/(0)+r(o)x+Z-Mxn+.(1-11)2!n式(1-11)称为/(x)的麦克劳林级数展开式，或称为的鬲级数展开式.二、将函数展开成幕级数【教师】提出函数展开成幕级数的方法将函数f(x)展开成X的幕级数g 与,有直接展开法和间接展开法.直接展开法直接按公式凡=亡险5=0,1,2,),计算幕级数的系数,并求出幕级数的收敛半径R;！当Xe(-K,R)时，考察当f8时，麦克劳林公式的余项Rn(x)是否趋于零.若凡(X)趋于零，就得到了函数/(X)的幕级数展开式之心山.r=0！间接展开法通常是从已知函数的幕级数展开式出发，通过变量代换、四则运算，或逐项求导、逐项积分等办法求出幕级数展开式.为了便于使用，这里我们给出五个重要函数的幕级数展开式：X (-00 , +)；/1r1V.V.V(1)e=l+x+2!3!nV3r2n+,(2)SinX=X+(-l)+,xe(-co,+8);3!5!(+1)!(3)cos%=1-+-+(-l)w-+,X(-oo,+oo);2!4!(2)！(4)ln(l+x)=X+(-1)w+,x(-l,l;23n+(5)=1÷x+x2÷+x”+，x(1,1).1-x我们利用上述幕级数展开式，间接将函数展开为幕级数.【教师】通过例题，帮助学生掌握将函数展开为幕级数的方法例1将/(x)=ln(+X),(。>0)展开成工的幕级数.解因为/Cr)=ln(+x)=lna+ml+'),且已知X2X3÷,ln(l+x)=x+(T)”+，x(-l,1,23Z7+1X将上式中的X换成一，得ln( + X)的幕级数展开式 a三、零级数的应用【教师】通过例题，帮助学生掌握幕级数的实际应用幕级数的应用非常广泛，现举例如下.例2计算e的近似值(保留五位小数).解在e'的幕级数展开式e'=l+x+二+=Y-Xn,-8<x<+oo中，令x=l得2!3!n占！e = l÷l÷l÷l÷2! 3!1+ +n以前+1项作为e的近似值，有el÷l÷l÷l÷2!3!1+n取=7,即取级数的前8项作近似计算，则2.71826 .e+l+l+l+l+l÷l2!3!4!5!6!7!例3【付款的现值问题】若某基金会与一个学校签约，合同规定基金会每年支付300万元人民币用以资助教育.有效期为10年，总资助金额为3000万元人民币.自签约之日起支付第一笔款，以后每年支付一笔.所有资助款都由银行兑付.银行储蓄规定年利率为5%,每年计息一次，以复利进行计算.试问在签订合同之日，基金会应该在银行存入多少钱就能保证合同正常履行？解如果将P百万元)存入银行作为基金，银行储蓄年率为r,银行每年计息一次，并以复利进行计算，则在f年后，银行存款余额为B=P(l+r),等价于P=.即为了使f年后能够支付B(百万元)，首(1+r)t日应存入银行P(百万元).第1笔付款为签约当天对付，f=O,其现值4=3(百万元).第2笔付款在1年后兑现，,其现3333值E=-r=-(百万元).第3笔付款在2年后兑现，r=2,其现值E=-一-=2 (1+0.05)'1.053(i+o.5)2(1.05)23 3(百万元).同样，第10笔付款在第9年后湖J,1=9,其现值/=-=7(百万元).(1I0.05)(1.05)此合同的总现值f+6+4。C3333+,+(1.05)(1.05)2(1.05)9=(。：5尸1*24.30(百万元).11.05这表明基金会应存入现值24.30百万元.若合同规定永不停止地每年资助300万元，那么基金会在签订合同之日，首日应存入银行的现金值为34+2+2+=63(百万兀).11.05【学生】聆听、思考、理解、记忆拓展训练【教师】讲解函数展开成幕级数需要注意的事项【学生】聆听、记录、思考强化练习【教师】对学生进行分组，每组选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，完成以下习即(1)将下展开成辕级数.+x-(2)计算ln2的近似值(保留四位小数).【学生】分组、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，并讲解解题思路【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点掌握函数展成鬲级数的步骤和方法、熟记几个重要函数(esinx,COSX,ln(l÷x),-L,(l+)w,)的麦克劳林级数【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识，完成能力训练10-4的习题【学生】完成课后任务教学反思
