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课题一阶线性微分方程课时2课时(90min)教学目标知识技能目标：(1)理解一阶线性微分方程的概念，掌握一阶线性微分方程的求解方法(2)熟练掌握用公式及常数变易法求解一阶线性微分方程的方法素质目标：(1)通过一阶线性微分方程计算能力的提升，培养其创新精神(2)培养学生主动交流的合作精神，培养学生善于探索的思维品质教学重睚点教学重点：一阶线性微分方程的概念及求解教学难点：一阶线性微分方程公式法的推导教学方法讲解法、问答法、讨论法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学过程主要教学内容及步骤课前任务【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课要讲的知识【学生】完成课前任务考勤【教师】使用APP进行签到【学生】按照老师要求签到问题导入【教师】提出问题：一曲线过原点，且在点3,y)处的切线斜率等于2x+y,求此曲线方程.你能写出这个方程表达式吗？【学生】聆听、思考、讨论、回答【教师】公布正确答案，并引入一阶线性微分方程的概念传授新知【教师】引入新的知识点，讲解一阶线性微分方程的相关知识【教师】提出一阶线性微分方程的定义，并强调其特点在解决实际问题中，经常会遇到这样的一阶微分方程，它的未知函数和未知函数的导数都是一次的，这类方程称为一阶线性微分方程.例如，某曲线上任意点M(x,尸)的切线斜率是该点横、纵坐标之差，且曲线经过(1,0)点，求该曲线方程.分析设曲线方程为y=(x),则曲线在点M(X,y)处的切线斜率为变.根据题意有dxdy即+y=x,dx初始条件为九=O=1.这个方程未知函数及其导数都是一次的，是一阶线性微分方程.一阶线性微分方程的一般形式是2+P(x)y=Q(x),dx其中PC。Q(X)都是X的已知连续函数.Qu)三O,上式变为空+P()y=O,dr称为一阶线性齐次微分方程.一、一阶线性齐次微分方程一阶线性齐次微分方程是可分离变量微分方程，分离变量得=P(x)dx.y两边积分得Iny=-P(x)dr+InC.化简得y=Ce3*.这就是一阶线性齐次微分方程的通解.二、一阶线性非齐次微分方程【教师】通过常数变易法，求解一阶线性微分方程前面以求出齐次方程P(x)y=O的通解为OXy=Ce-M".其中C为任意常数.由此猜想非齐次方程也有这种形式的解，但其中C不是常数，而是某个X的函数，问题归结为是否存在这样的函数”(X),使得y="(x)e-"c0”,是非齐次方程的解，现在假设y="(x)e-V，是方程包+pa”=Q(A.)的解，则dry=ejx+w(e-fpdry=e-JP3出一Pa)e-v皿将y与)，'代入方程空+P(x)y=Q(X)并化简，得drwre-jP(x)dv=e(x),即u,=Q(x)eipdx,两边积分，得"=J0(x)e仍'"dx+C.于是，这样的u(x)存在，将上式代入Y=w(x)e-fF(x)dv,得方程出+P()y=Q(X)的通解公式为drN=/"叫JQ(X)e仍")v+c,即)，=CeT空+e-jpdl(x)efpx¾.三三y罪齐汨港的特式中右端的第一项是对应的齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解(取C=O).由此可知：一阶线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和.上述将对应齐次方程通解中的为任意常数C换为待定函数(X),以求非齐次方程的方法，称为常数变易法.【教师】通过例题，帮助学生掌握一阶线性微分方程在实际中的应用例1解方程y,-2xy=ercosx.解法1(常数变易法)：对应的齐次方程的通解为将常数变为函数，得y=w(x)er,将y与)、'代入原方程并化简，得u,(x)e'=ercosx,于是w/(x)=COSX,积分得u(x)=coscLv=sinX+C.所以原方程的通解为y=(sinx+C)e'.解法2(公式法)：将PM=-2x,(x)=e2cos%,代入非齐次方程的通解公式得IwLr2i*4t.y=eiIecosxejax=er(e，COSxerdx)=er(cosdr)=et*(sinx+C).例2曲线方程】求前面例如问题中的曲线方程.解由前面分析得微分方程÷y=x,y=1.dr1-°对应的齐次方程的通解公式为y=CeJdr=Ce-,将常数变为函数，得y=w(x)e-将y与y代入原方程并化简，得u,(x)ex=X,于是u,(x)=xex,积分得m(x)=xexdx=Jxde)=ca-erdx=(x-l)er+C.所以方程的通解为y=(x-l)ev+Cex=Cef+x-l,把初始条件y|A=0=1代入通解中，得C=2,故所求曲线方程为y=2ex+x-.例3【飞行员跳伞问题】假设体重为m的飞行员在降落伞张开后所受空气阻力与降落速度成正比，开始降落的速度为零，求其降落速度与时间的函数关系.解设降落速度为v=v(),降落时飞行员所受重力mg的方向与v()的方向一致，所受阻力f=-k，与v(r)的方向相反(k为比例系数且大于O),从而在降落过程中飞行员所受的合力为F=mg-kv.根据牛顿第二定律产=/阳及。=曳，得微分方程d/dv.m=mg-KV,rdvk.即1n=g,drm初始条件V(O)=O.这是一阶线性非齐次微分方程，利用通解公式可得d/-d/f-dr-rv(r)=Ceim+eJ",jgein,dr=Cem+,将初始条件WO)=O,代入得C=一巡.于是所求函数为kVW=整(屋口).k可以看出，当f充分大时，e餐越来越小，速度Mf)逐渐接近于匀速磔,故飞行员跳伞速度不会无限增k大，飞行员就会完好无损地降落到地面.【学生】聆听、思考、理解、记忆强化练习【教师】组织学生以小组为单位，完成以下习题求解以下微分方程的通解(1) /-3y=e3x(2) -+2xy=4xCk【学生】分组、思考、讨论、解题【教师】公布正确答案，并讲解解翘思路【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧课堂小结【教师】简要总结本节课的要点一阶线性微分方程的概念一阶线性微分方程的求解方法用公式及常数变易法求解一阶线性微分方程的方法【学生】总结回顾知识点作业布置【教师】布置课后作业回顾本节课所讲知识,完成能力训练6-3的习题【学生】完成课后任务教学反思
