现代控制理论习题解答(前五章).docx
第一章控制系统的状态空间描述3-1-1求图示网络的状态空间表达式，选取人和“为状态变量。(1)题3-1-1图1(2)题3-1-1图2【解】：(1)设状态变量：X=Uc、×2=Uc2而G=GmcI'，2=。2uc2根据基尔霍夫定律得：整理得(2)设状态变量：X=lL、X2=Uc而根据基尔霍夫定律得：整理得3-1-2如下图电枢电压控制的它励直流电动机，输入为电枢电压，J输出为电动机角速度3,电动机轴上阻尼系数为3转动惯量J,试列写状态方程和输出方程。题3-1-2图【解】：设状态变量为：其中J为流过电感上的电流，。电动机轴上的角速度。电动机电枢回路的电压方程为：4为电动机反电势。电动机力矩平衡方程为由电磁力矩和反电势的关系，有eb=ce,MD=CMia式中Ce为电动机反电势系数，CM为电动机的转矩系数。/为电动机轴上粘性摩擦系数，/电动机轴上等效转动惯量。整理得(注：解是非唯一的)3-1-3试求图示系统的模拟结构图，并建立状态空间表达式。(1)题3-1-3图1题3-1-3图2【解工(1)如题3-1-3图3设状态变量题3-1-3图3写成矩阵的形式得：(2)如图题3-1-3图4设状态变量题3-1-3图4写成矩阵的形式得：(注：此题解并非唯一的)3-1-4系统的微分方程，试将其转变成状态空间表达式。(1)y+2y+4y+6y=2uy+ly+3y=u+2u(3) y+5y+4y+ly=ii+3u+2u(4) y<4)+3y+2y=-3«+u【解】：在零初始条件下，方程两边拉氏变换，得到传递函数，再根据传递函数求状态空间表达式。此题多解，一般写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。(1)传递函数为：状态空间表达式为：(2)传递函数为：状态空间表达式为：(3)传递函数为：状态空间表达式为：(4)传递函数为：状态空间表达式为：3-1-5系统的传递函数，试建立其状态空间表达式，并画出结构图。2)C16/s+5÷1/1"s+3s+111JG(三)=-512)G(s)=-S+6s+1Ly÷÷6S+5s+6(Q1re4/iZ-Vc/+25+33JG(三)=(4JG(三)-2s(s+1)2(s+3)53+352+35+1【解】：此题多解，般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型，以下解法供参考。结构图如图题3-1-5图1所示题3-1-5图1rc、？+3S+1.v2+55+6-25-5125+5G(三)=-=2=1-2S+5s+6s+Ss+6s+5s+6结构图如图题3-1-5图2(a)所示题3-1-5图2(a)或有结构图如图题3-1-5图2(b)所示题3-1-5图2(b)(3)结构图如图题3-1-5图3所示题3-1-5图3(4)结构图如图题3-1-5图4所示题3-1-5图43-1-6将以下状态方程化成对角标准型。(1)X=01-5-6.r+0"1KX=-010'302-12-7-6X+-23'1571U(3)Jt=-010-001-6-11-6a【解工(1)特征方程为:D（八）=A2+6+5=(+1)(+5)=O。特征值为：系统矩阵A为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵P为范德蒙矩阵。变换阵：线性变换后的状态方程为：特征方程为:特征值为：j=-1»二-2,右=一3©设变换阵：P=%当%尸22&生一&_由(4-A)4=0得-1-10-%四'当4=T时，-3-1-2P2i=0取4=%=-112751J3IL-2-10'>1222'当益=-2时，-3-2-2P22=0取5=P22=-41274号LJL1.-3-10'一生叫1"当&=_3时，-3-3-2P23=0取鸟=%=-31273-自3_%-3_121P =-1-4-3-113P-I-4.5 2.5=-3 -2 -12.5 1.5 1变换阵:线性变换后的状态方程为:(3)特征方程为：D(2)=3+62+11+6=(+1)(2+2)(4+3)=0特征值为:4=-1,2=-2¾3=-3©系统矩阵4为友矩阵，且特征值互异，因此可以化为对角标准型，其变换矩阵P为：线性变换后的状态空间表达式为：3-1-7将以下状态方程化成约旦标准型。(1)X=-211-2.r+(1)特征方程为:特征值为：4二-1,2=-30设变换阵：PPn.P2尸12222由(即-A*=O得:当4=T时,-,1¾当；l2=-3时,:假卜。取人1-1111-10.50.50.5-0.5线性变换后的状态空间表达式为:(2)特征方程为：特征值为：=A2=3,3=1©设变换阵：当4 =3时，由(4-A)6=0得:,取 PI =当/I2=3时，由CV-A)=-勺得:-3当I3=I时，由(l-A)乃=O得：-1-1-112F,3-2P23-21¾°=0,取八=2变换阵:2-2-1110P=102101线性变换后的状态空间表达式为：(3)特征方程为：D()=3-42+5-2=-l)2-2)=0,特征值为:4=A2=1,3=2O系统矩阵A为友矩阵，且特征值有重根，因此可以化为约当标准型，其变换矩阵产变换阵:线性变换后的状态空间表达式为:状态空间表达式，X=-21O-0-30O1-4X+-1-1'142-3U3-1-8(1)试用I=PTX进行线性变换，变换矩阵PT=1O(O20001求变换后的状态空间表达式。(2)试证明变换前后系统的特征值的不变性和传递函数矩阵的不变性。【解】：（1）证明：变换后的系统矩阵为彳=PTAP,输入矩阵为占=PTB特征值的不变性：传递函数矩阵的不变性：验证：变换前的特征方程为：变换后的特征方程为：所以变换前后系统的特征值是不变的。3-1-9两个子系统的传递函数矩阵分别为G1Cs)=115+15+2O1S.，G2（V）=115+35+10.5+1.,试求两子系统串联后和并联后的传递函数矩阵。【解】：（1）串联GIG）在前，Gz（s）在后时G2"）在前，G（s）在后时（2） 并联3-1-10离散系统的差分方程为），伏+3）+3y（左+2）+5），优+l）+y（Q="（2+l）+2伙）,求系统的状态空间表达式，并画出系统结构图。【解】：根据差分方程，在零初始条件下，方程两边Z变换，得到系统的脉冲传递函数为G(Z) =z + 2z3 +3z2 +5z + 1其结构图如图题3-1-10图所示:题3-1-10图3-1-U离散系统的状态空间表达式为卜弓+?=伙），X2k+1）J3LX2（k）Ll,求系统的脉冲传递函数。【解工也可以直接写出。3-1-12系统的脉冲传递函数，试求系统的状态空间表达式。(1«12z2+z+2G(Z)=-；z3+6z+1lz+6(2)G(z)=-z3+4z2+5z+2【解】：以下解法供参此题多解，般可以写成能控标准型、能观标准型或对角标准型,考。(1)第二章状态空间表达式的解【解工 特征值为：4 =A2=LA3 =2。由习题3-1-7(3)得将A阵化成约当标准型的变换阵P为1 () -O 2 -1'P =1 1 2,PT =-2 3 -11 2 41 -2 1线性变换后的系统矩阵为：(5)为结构四重根的约旦标准型。(6)虽然特征值相同，但对应着两个约当块。三J=L-,(5-)-,=L-,3-2-2系统的状态方程和初始条件(1)用IaPlaCe法求状态转移矩阵;(2)用化标准型法求状态转移矩阵;(3)用化有限项法求状态转移矩阵;(4)求齐次状态方程的解。【解】：(1)(2)特征方程为：特征值为：由于2=1,所以4对应的广义特征向量的阶数为1。求满足(4/-A=O的解B,得：0 00 1 =0, P1 = 0再根据(4/-4)乃=0,且保证6、尸2线性无关，解得:对于当=2的特征向量，由(4/-A)玛=0容易求得：所以变换阵为：p=pP2P3=()1(),P-I=010线性变换后的系统矩阵为:特征值为:(4)3-2-3试判断以下矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求对应的矩阵A。'1OO(1)(0=OsintCOSZ修尸O-costsinI1(3)=2e,-e2t-2e,+2e2te,-e2t-et+2e2r(4)Q)='.5e-,+0.5e3t-0.25e-z+0.25e3f"-e,+e3t0.5e,+O.5e3z【解工(1)不满足状态转移矩阵的条件。(2)，满足状态转移矩阵的条件。由()=A(r),得(0)=A(O)=Ao/. (r)=0O(3)，满足状态转移矩阵的条件。(4)，满足状态转移矩阵的条件。3-2-4线性时变系统为*1L,试求系统的状态转移矩阵。1-It"一 2fli取Ad)=.L 1 -2r【解工线性定常系统的状态方程为X=-O1"-2-3X+0'1，初始条件为MO)=1-1试求A(Z2)=-2,21得：A(r1)*A(Z2)=A(r2)*A(Z1)输入为单位阶跃函数时系统状态方程的解。【解】：-n1,一3-2-6线性定常系统的状态空间表达式为、=y=l2jx,状态的56J10初始条件为X(O)=；，输入量为(r)=e-'(/0),试求系统的输出响应。【解】：3-2-7线性定常系统的齐次方程为、=AXv),当x()=1时，状态方程的解为-2Mf)="2,；而当X(O)=时，状态方程的解
