第16讲导数的应用——导数与函数的极值、最值（教师版）.docx

第16讲导数的应用一一导数与函数的极值.最值思维导图考向1：根据函数图象判断函数极但题型1:利用导致解决函数的恢值问题考向2:已知的数求极值或极值£导数的应用导数与函数的极值、最值一向3:巳知困数极值点或极值求钥即迪或检围-题里2:利用导数数由数的的值迤型3:利用5数求解函数极值和最值的综合问题常见误区混淆极值与极值点的概念致误Y连续函数在区间(a,b)上不一定存在IB值知识梳理1 .函数的极值(1)函数的极小值：函数y=Ar)在点X=a的函数值贝4)比它在点X=附近其他点的函数值都小，/(a)=0;而且在点x=a附近的左侧/(x)V0,右侧/(x)>0,则点。叫做函数y=U)的极小值点，/。)叫做函数y=U)的极小值.(2)函数的极大值：函数y=T在点x=b的函数值大切比它在点X=b附近其他点的函数值都大，/(/>)=0：而且在点x=b附近的左侧/(x)>0,右侧/(x)V0,则点匕叫做函数y=U)的极大值点，犬A)叫做函数y=U)的极大值.2 .函数的最值(1)在闭区间,加上连续的函数Ar)在,6上必有最大值与最小值.(2)若函数外)在加上单调递增，则加)为函数的最小值，加)为函数的最大值；若函数外)在小加上单调递减，则火。)为函数的最大值，大份为函数的最小值.题型归纳题型1利用导数解决函数的极值问题一根据函数图象判断函数极值m1-1(2020春宜宾期末)如图是函数y=f()的导函数y=r)的图象,则函数)，=/(幻的极大值点的个数为()【分析】通过读图得出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，得出答案.【解答】解：由图象知在(YoM),s,)上r*)>o,所以此时函数/(X)在(TOM),(上收)上单调递增，在3向上，,(x)<0,此时F(X)在(,b)上单调递减，所以x=时，函数取得极大值，x=b时，函数取得极小值.则函数y=/a)的极大值点的个数为1.【例1-2】(2019秋未央区校级期末)函数),='(x)的图象如图所示，则关于函数y=(x)的说法正确的是()A.函数y=(x)有3个极值点B.函数y=f(x)在区间(-coT)上是增加的C.函数y=(x)在区间(-2,)上是增加的D.当X=O时，函数y=(x)取得极大值【分析】结合导数与函数单调性的关系可知，r>o,函数单调递增，r)<o,函数单调递减，结合图象即可判断函数的单调区间及极值.【解答】解：结合小数9函数单调性的关系可知，当X<-5时，V)>0函数单调递增，当-5<xv-2时，x)<0,函数单调递减，当x>-2时，(x)>O,函数单调递增，故当=-5时，函数取得极大值，当X=-2时，函数取得极小值故选：C.【跟踪训练1-1】(2019秋临渭区期末)已知函数/(幻的导函数/'")的图象如图所示，则关于/(x)的结论正确的是()A.在区间(-2,2)上为减函数B.在X=-2处取得极小值C.在区间(YO,-2),(2,”)上为增函数D.在X=O处取得极大值【分析】结合图象求出函数的单调区间和极值点即可.【解答】解：由图象得：/(力在(-00,-2)递减，在(一2,2)递增，在(2,”)递减,故/*)在x=-2取极小值，在x=2取极大值，故选：B.【跟踪训练1-2】(2019秋咸阳期末)已知函数/Cr)的导函数尸(幻的图象如图，则下列叙述正确的是()A.函数f(x)在(Yo,T)上单调递减B.函数人为在X=T处取得极大值C.函数/(x)在x=-4处取得极值D.函数/(x)只有一个极值点【分析】利用导数的定义和导数的集合意义，通过数形结合法可判断函数的单调性和极值可得答案;【解答】解：由己知函数/*)的导函数r(x)的图象可知，V；2»-1O/'(x)>0在区间(Yo,-4),(-4,-2),f,(x)=0在x=-4,/'(x)v0在区间(-2,+)»根据导函数的定义和集合意义，导函数大于。时，原函数单调递增，导函数小于0时，原函数单调递减，导函数等于0时是原函数的拐点位置，可能为原函数取极值处，通过函数单调性函数取极值的左右两侧区间原函数的图象单调性相反判断可得：A、x(-,-4),fx)>0»所以函数/(x)在(-oo,-4)上单调递减错误；B、%(-4,-2),(x)>0,X(-2,-x>),f,(x)<O,函数f(x)在X=T处取得极大值错误；C、x(o,T),V)>0,x=T,(x)=0,x(T,-2),(x)>0,函数在X=T处取得极值错误；DXX(-4,-2),fx)>O»x(-2,+),fx)<O»函数/(x)只有一个极值点工=一2正确；故选：O.【名师指导】由图象判断函数y=Kr)的极值，要抓住两点：(1)由y=(x)的图象与X轴的交点，可得函数y=(x)的可能极值点；由导函数y=(x)的图象可以看出y=(x)的值的正负，从而可得函数)，=AX)的单调性.两者结合可得极值点.题型2利用导数解决函数的极值问题已知函数求极值或极值点【例2-1】(2020春顺义区期末)已知函数"r)=gY-4x,则/(幻的极大值点为()A.X=4B.x=4C.X=-2D.x=2【分析】求出函数/*)=gd-4x的导函数，由导函数等于O求得导函数的零点，由导函数的零点对函数的定义域分段，根据导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点.【解答】解：由/(x)=gX3-4x,得：f,(x)=x2-4.由r0)=2-4>0,得：x<-2,或x>2由r)=2-4<0,得：-2<x<2.所以，函数/(x)的增区间为(-00,-2),(2,40).函数f(x)的减区间为(-2,2).所以，x=-2是函数的极大值点，x=2是函数的极小值点.故选：C.【例2-2】(2020春海淀区校级期末)函数y=xsinx+8sx的一个极小值点为()A乃D乃CC3A.X=B.%=C.x=D.X=222【分析】先求出函数的导数，得到函数的单调性，从而求出函数的极小值点.【解答】解：y=F(X)=XSinX+cosx,fx)=SinX+XcosX-SinX=xcosx，令/'(x)=0,解得X=O或X=I+4乃,keZ.当/'(x)>。时，一九+2k乃<xv鼻+2k加，或2k<X<%+2k冗，keZ»函数/(x)单调递增,当/'(x)v时，一;+2k兀<x<2k兀，或+2A4<x<乃+2k乃，keZ»函数/(x)单调递减，当)=0时,f(%)在(Tr,-马，(0,乙)上单调递增,在(2，0)>(>乃)上单调递减,2222当A=I时，/(x)在(凡包)，(24,2)上单调递增，¢(-,2)f(,3外上单调递减，2222函数函数y=xsinx+cosx的一个极小值点为，故选：C.【跟踪训练2-1】(2020春乐山期中)函数/(x)=V-3X的极小值是()A.4B.2C.-4D.-2【分析】求导，分析/“)单调性，可得极小值.【解答】解：函数定义域：R.(x)=3x2-3,令T(X)=O,得X=T或1,在(o,T),(l,+oo)±,(x)>0,/(x)单调递增，在(-1,1)上，,(x)<0,/(x)单调递减，所以/(X)极小但=/(I)=l3-3×l=-2,故选：D.【跟踪训练22】(2020春龙岩期末)函数/(x)=gx3-4x+4的极大值为.【分析】求导数便可得出r(x)=V-4,容易看出=±2为方程/(X)=O的解，从而可判断导函数的符号,进而得出该函数的极大值点.【解答】解:,(x)=x2-4;XV-2时，f,(x)>0»-2vx<2时，f,(x)<0»x>2时，f,(x)>0：.”=一2是/(x)的极大值点.函数的极大值为：/(-2)=×(-8)+8+4=y.故答案为：”.3【名师指导】求函数的极值或极值点的步臊(1)求导数/(x),不要忘记函数段)的定义域；(2)求方程/(x)=0的根：(3)检查在方程的根的左右两侧/(x)的符号，确定极值点或函数的极值.题型3利用导数解决函数的极值问题已知函数的极值点或极值求参数的值或范围【例31】(2020春赤峰期末)若函数f(x)=四'-工存在极值点，则实数。的取值范围是()A.(0,-hx>)B.O,÷)C.(o,0)D.(Y),0【分析】先求导数，根据题意/'(x)=0在(Yo,+)上有根，得到y="与y='在(YO,+)有交点，进而得ex出答案.【解答】解：根据题意得r*)=T在(Y0,”)上有零点，所以"-1=0在(-oo,k)上有根，即=1在(-co,+oo)上有根，即y=y=(>,+co)有交点，e因为y='(0,+)且单调，所以>0,故选：A.【例32】(2020春荆州期末)若当x>0时，函数/5)=2-+犹2有两个极值点，则实数小的取值范围是()A.(,+oo)B.(0,)C.(0,2e)D.(2e,+oo)22【分析】求导得r(x),根据题意可得r*)=o在(o,y)上有两个根，从而得到帆=在(0,”)上有两个2x根，设g(x)=Ca>o),求导数判断g*)的单调性，求出g(x)的最小值，进而得出答案.2x【解答】解：f,W=-ex+2Lr(X>0),根据题意，可得ra)=o在(0,”)上两个根，即-F+2Ir=O在(0,-bx>)上有两个根，即m=C在(0,”)上有两个根，2x:/、e"/八、r,l，,、2xet-2ex(x-l)e'设g(x)=丁。>0)，则g。)=c；，在(0,1)上g<x)v,g(x)单调递减，在(l,+oo)上g(x)>O,g(x)单调递增，所以g(x)*=g(1)=|»所以>故选：A.【跟踪训练31】(2020春潍坊期末)已知X=加时，函数/(x)=V一2x取得极大值，则机=()A.-4B.-2C.4D.2【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值点即可.【解答】解：/(x)=-12x,f,(x)=3x2-2=3(x+2)(x-2),令T(x)>O,解得：x>2tx<-2,令r(x)vO，解得：-2vxv2,故/*)在(-oo,-2)递增，在(-2,2)递减，在(2,h)递增，故X=-2时，f(x)取极大值，则?=一2,故选：B.【跟踪训练3-2】(2020春南阳期末)已知函数/(x)=M柩-")有且仅有一个极值点，则实数。的取值范围是.【分析】根据题意可得r(x)=/心-2"+l=0只有个解=>24=也担只有个解=>y=2与Xy=g(x)=""+I只有.个交点，求导数g'(x),分析单调性，及当JVfO时，g(x)Y0;当Xo时，Xg*)->0,画出函数g(x)的草图，及可得。的取值范围，再检验是否符合题意，即可得出答案.【解答】解：因为函数f(x)=x(nr-Q有且仅有一个极值点，所以,(x)=lnx-ax+x(-a)=