题型106类三角恒等变换解题技巧（拼凑思想、升（降）幂、三倍角）（解析版）.docx
题型106类三角恒等变换解题技W（拼凑思想、升（降）幕、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公式）I技法Oi拼凑思想的应用及解题技巧I技法02升（降）耗公式的应用及解题技巧I技法03三倍角公式的应用及解题技巧I技法04半角公式的应用及解题技巧I技法05万能公式的应用及解题技巧I技法06正余弦平方差公式的应用及解题技巧I技法01拼凑思想的应用及解题技巧t=常见题型解读在三角函数求值题目当中，常常会出现已知条件中给出两个或者一个三角函数值，求问题中的三角函数值，解决此类问题的关键在于用“已知角”来表示“未知角”1、当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和与差的关系2、当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和与差或倍数的关系，然后借助三角恒等变换公式把“所求角”变成“已知角”知识迁移a=2%a=-（-a）a=（a+）+（a-）02跟我学,解题思维剖析例14.（全国高考真题）ta255°=A. -2-3B. -2+3C. 2-3D. 2+3解题技巧点拨O【详解】tan255。=tan。8。+75。)=tan750=tan(45。+3%=：鲁；黑黑例12(2023,江苏南京南京市第一中学校考一模)若2sina+IJ=Sin(-J则tan-'J=(解题技巧点拨OA.56+8B.33-4C.4+36D.53-8 a6所以tan(-J = 2,则【详解】由2sin( + ) = 2sin la-2-亭6市仅一处(3一2件1+2x33+26(3+23)(3-23)3!4知识迁移强化1. (2022云南云南民族大学附属中学校考模拟预测)已知Sina=亚，cos(a-0=®,且0<。<¥，7v7540<<-,plJsin=()4915r11加r5n1035353535【答案】A【解析】易知SinS=Sin(a-(。-)，利用角的范围和同角三角函数关系可求得c。Sa和sin(a-，分别在sin(a-0=誓和-乎两种情况下，利用两角和差正弦公式求得Sin6，结合夕的范围可确定最终结果.【详解】Sina=立且O<a<g,.O<a<f,.,.cosa=Vl-sin2<z=-.72447又0尸,.一,二一夕；,.sin(-y?)=±yl-cos2(a-)=±-当sin(-0=平时，Sin4=Sin(-(/7)=SinaCOS(a-夕)一COSaSin(-7)=2一=,0/,，.sin70,.sin4=-不合题意，舍去；当疝(。-6)=-孚，同理可求得Si"=嗜，符合题意.综上所述：sin=.故选：A.【点睛】易借点睛：本题中求解COSa时，易忽略Sina的值所确定的。的更小的范围，从而误认为COSa的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.2. (2023山东泰安统考模拟预测)已知A为锐角，lan2A=辛，tan(A-B)=m叵，则IanB=()2-sn',15a15r15r2f5n2I517171717【答案】A【分析】由二倍角正切公式，同角关系化简2A=黑,求SinA,再求再由两角差的正切公式求tan.*WY.nCOSA山、sn2ACosA【详解】因为an2A=3,所以=-一2-snAcos2A2-SinAg、i2sinAcosAcosA所以J2sin"=百'又A为锐角，cosA>O,fil2sin(2-sinA)=1-2sin2A,解得SinAT因为A为锐角，所以cosA=M5,lan=巫,415又tan(A-B)=2叵1515215所以IanB=tanA-(A-B)J='*"一皿'-')=-211.I'l+tanAtan(A-B)15×21517+5x15故选：A.jr3. (2023湖南湘潭统考二模)已知0va<4<5，cos2a+cos2£+l=2cos(a-m+cos(a+)，则()A.a+=-6CD.-a=-3【答案】D【分析】直接利用三角函数恒等变换进行凑角化简，再根据。，夕的范围即川.求出结果.【详解】由已知可将2a=(+A)+(-4)，邛=5),则CoSKa+)+(a-)+COSKa-)-(a-)+=2cos(a-P)+cos(a+),2cos(+y9)cos(-/7)-2cos(-/3)-cos(a+/?)+1=0,cos(ez-)-l2cos(-1=0,即cos(+夕)=或cos(-Q)=;.又0<<4<,所以OVa+Q<,-<-尸<0,所以cos(+6)wl,所以选项A,B错误，即cos(-0=;,则。一夕=一，所以4-=1则C错，D对，故选：D技法02升（降）幕公式的应用及解题技巧常见题型解读在三角恒等变换的倍角考查中，升幕公式及降哥公式极其重要，需灵活掌握，在高考中也是高频考点,要强加练习知识迁移升器公式：cos2a=l-2sin2a»cos2a=2cos2cr-1降零公式：sin2 =I-CoS202 l + cos2a,cos' a =02跟我学,解题思维剖析例2-1.（2023全国模拟预测）已知SinD I解题技巧点拨O【详解】因为SinI c 4,11 = 2× 1 =99，所以COS=sin1B.9例2-2.(2023全国统考高考真题)已知sin(-夕)=Lcossin夕=L则cos(2a+27)=().367D9解题技巧点拨O【详解】因为sin(-户)=sincos夕一COSaSin夕=L而COSaSin/y二L因此Sina8s4=L3622则sin(+/3)=sinacosB+cossin尸=§,21所以cos(2a+2)=COS2(+夕)=1-2si(+夕)=12X(一)2=-!4知识迁移强化311. (2023全国模拟预测)已知cos(+尸)=不sinsin4=q,则cos(2-2P)=()2323A.1B.-1C.-rD.2525【答案】A4【分析】根据题意，求得COSaCoS4=?，再求得8s(-0=l,结合倍角公式，即可求解.所以COSaCoS尸=M,可得COS(-/7)=COSaCos/7+sinsin4=1,所以cos(2-2?)=cos2(-4)=2cos2(a-y)-l=1.故选：A.2. (2023河南统考模拟预测)已知COSa+Jsin=劣色,则cos(2+g)=()33B.C.D.【答案】C【分析】根据给定的条件，利用辅助角公式求出sing+今，再利用二倍角的余弦公式计算即得.O【详解】由CoSa+Gsina=区叵，得sin(+巴)=在，363所以cos(20+?=CoS2(a+)=l-2sin2(+)=l-2×()2=-g.cosa)sin/? = -1,则 sin(2«-20=()7D -9故选：C3. (2023全国模拟预测)若sin(+/)+CoS(+夕)=2(Sina-1 C.一9A19【答案】A【分析】利用辅助角公式及两角和差的正弦公式化简，再根据血(2"24)=2加2卜-4+北-1计算可得.2,1【详解】由已知得sin(+0+cos(+0=?,(sina-cosa)sin/?=-,所以 sin( +6) + cos( +0) = 7sin( a+ y9 + -j = >2sin( + 9cosQ + cos( + ?) C 2sin/? = -,因为 Jc0s(+5)所以 sin( + ?卜 os =CoS(+.卜n夕=一2,6 ,，sin=(CoSa-Sina)Sin/?=一；,则sin(a-+7)=sin(a+5)8s-cos(a+5)sin=,所以sin(2-24)=2si112(a-4+?)-1=2x2,1-1=.故选：A.4. (2023四川成都石室中学校考一模)已知2sin-sin/=豆，2cosa-s?=1,则cos(20-2=()A.-B.叵C.-D.-8448【答案】D【分析】先对两式进行平方，进而可求出cos(-的值，根据二倍角公式求出结论.【详解】解：因为2sin-sin夕=4,2cosa-cos=1,所以平方得，(2Sina-Sin#)2=3,(2COSa-CoS=1,即4$山%-4§由二0皿/7+§访2/=3,4cos2a-4cosacos7+cos2y?=1,两式相加可得4-4SinaSin/？-4cosacos/?+l=4,即CoSaCOS尸+sin0sin6=；,故cos(一夕)=(,17cos(2-2=2cos2(a-)-l=2×1=.168故选：D.技法03三倍角公式的应用及解题技巧市面*常见题型麻谟在三角函数或解三角形的一些问题中,会出现三倍角,解决起来需要把三倍角转化成一倍角与二倍角的和，化简起来会多些步骤，而知道三倍角公式,我们可以更快的得出结果知识迁移sin3 = 3sin - 4sin3acos3a = -3cos + 4cos3a3tanatan3artan3=-=tanatan-atan+«1一3tan2aV3/V3/02跟我学解题思维剖析例3.已知在ABC中，角A、B、C的对边依次为a、b>cta=6,4sinF=5sinC,A=2C,求b、C边长。解题技巧点拨【解析】B=-(A+Q=-3C4sinB=5sinC=4sin(3C)=4sin3C=5sinC=4(3sinC4sin3C)=5sinCn4(3-4sin2C)=5973=>12-16sin2C=5=sinC=cosC=-44acJ百=菽M=2Caca=>=C=42sinCcosCsinC2cosC4sinB=5sinCn4匕=5c=b=5!4知识迁移强化21.函数f(x)=4sin3x-sinx+2(sinjSj)的最小正周期为().A.2B.-C.D.23解析：根据三倍角公式：sin3=3sincr-4sin3a,化简得/(X)=-sin3x+2,则函数/(x)的最小正周期为y.C选项止确.2.已知AABC的内角AtBtC的对边分别为a,b,c,若4=2艮且力为锐角，则：十一；的最小值为DCOSAOA.22÷1B.3C.22+2D.4.A=2B,二sinC=sin(
