“函数与导数”大题规范增分练.docx
函数与导数”大题规范增分练1. (2023湘漂二模)已知岫WO,曲线«r)=)在X=I处的切线方程为6x+by-3=0.求a,力的值；(2)证明：当X£(0时，«r)VUm尤3-3解：(1)由题可知次1)=17=,，即z?=l.3(。-x2)+6x234+3f又f(X)=伍/)2=左于所以/ (1)=34+3(T)26 bt。=3,(2)证明：由知TW=石Jx(0,l,要证段)<lanx,即三？R.只需证3sinx-3XCOS-x2sinx>0.令g(x)=3sinx-3XCoS-x2sinx,.r(O,l,则g,(X)=3cos工一3CoS÷3sinx-2XSin-AosX=MSin-xcosx).令人(X)=SinX-xcosx,x(O,l,则h'(X)=COS-cosx÷xsinX=XSinx>0,所以/?(x)在(0,l上单调递增，所以力。)>力(0)=0,即g'(x)>0.所以g(x)在(0,1上单调递增,则g(x)>g(O)=O,即当XW(0,1时，/(x)vtanx.2. (2023南平模拟)己知R,函数y(x)=lnx+(l一幻.(1)若人X)Wa恒成立，求的取值范围；(2)过原点分别作曲线y="r)和y=g(x)=e"的切线Zi和乙，试问：是否存在4>0,使得切线和/2的斜率互为倒数？请说明理由.解：(1M)的定义域是(0,+),由x)可得Inxr,即乎Wa恒成立.令(K)=x(0,÷),h,(X)=IJ",当O<x<e时，h,(x)>0,(X)在(O,e)上单调递增，当Qe时，()<0,力。)在(e,+8)上单调递减，所以当x=e时，(x)max=(e)=-,所以*.故4的取值范围是+8).存在>0,使得切线和/2的斜率互为倒数，理由如下：由已知，得，(X)=5一。，g,(x)=ex.设g(x)的切线方程是y=H,则ex=A,显然女>0,x=lnk,切点为(InK,女).女一01于是解得=e,所以/2的斜率为e.于是/1的斜率为二InK-Ue11e设段)的切点坐标为(X0,yo),由父一。=&，得Xo=不F?又&吟JfXo-O e,6te+l=FXaei ，整理得 fl=ln(de÷ 1).ee-BI-,ox设Ga)=In(冥+1)忒>0),则G'。)=乔L=二十.e-1时，G, (x)>0, G(x)当04时,G' (x)<0, Ga)在上单调递增，又G(O)=0,所以G+ 8 J上单调递减.使得 G(Xo)=0.8当 =l 时，/ (X)=I2-cos2 cos3÷ cos2%-2COS3XCOS3X因为(, 5,所以 cosx(O,l), Cos3X÷cos2<2,故 f' ()<0,故当= 1时，.0, ?上单调递减.又G(e3)=ln(e4+l)-e3<58<0,所以存在x°因此关于的方程=ln(ae+l)有正数解.所以存在4>0,使得切线人和/2的斜率互为倒数.3. (2023全国甲卷)已知函数八x)=一黑寺，x(1)当=l时，讨论7U)的单调性；若7U)+sinx<0,求的取值范围.解：(1)(cos2x)'=(cosxcosx),=sinxcosx÷cosx(-sinx)=_2sinxcosx,CoSxcos2-sinx(-2SinKCoSx)cosx+Zsin%2-cosxCOS4X(2)法一：令尸(X)=Or黑方+sinx,则尸(O)=0.,2-Cos2X.f(x)="-yr+c°sCOs4X+COdS2+cos3x,令F(0)=0,得=0.当AO时，F(O)=A0,当f(?'时，F,(x)-,所以存在一个Xoe(O,满足F(M)=0,且当(0,xo)时，F,(x)>0,Fa)单调递增，则当x(0,M)时，F(x)>F(O)=0,不符合题意.当右。时,因为於心.-辿%冷鬻W-需，三(,所以要证+sinv在(0,习上恒成立，只需证一鬻<0在(0,野上恒成立.因为Cos2X在(0,上恒大于0,siP在(0,上恒大于0,所以一襄<0在(0,9上恒成立，命题得证.综上，。的取值范围为(-8,0.法二：依题意，段)+SinX=Or-黑1+sin%=ax+sin4一»),x(,当a0时，易知U)+sinxv0:当>0时，因为X(,习时满足sinx<r,所以AX)+sinX=Or+sin«1一备)>sinx+sin一熹)=疝伞+L),因为函数y=忌聚不£(0,5)的值域为(1,+),a÷l>l,所以对于任意大于0的参数a,一定存在Xoe(0,独使得rcL<+l,即存在XO(,5使得危o)+SinXO>0,故。>0不能确保危)+sinx<0,与题意矛盾，故a>0不成立.综上，的取值范围为(-8,0.4. 已知函数/(x)=Ina+1)ar.(1)若儿t)存在唯一零点，求实数。的取值范围；(2)当WN,时，证明：(1+3r)(1+3-2)(1+3-3尸(1+3一)<加.解：(1)由题可知兀0的定义域为(一1,+),/=ITT-a当WO时，/(X)X)"x)在(-1,+8)上单调递增；且型)=0,所以危)存在唯一零点.当>0时，令/(x)=0,得=:一1>一1,当 XG(TjT)时，f>0,Ar)单调递增；当xQ-l,+8)时，f(X)<O,fix)单调递减.所以Kt)max=Q-l)=-l-ln,且当x十8时，兀)-8;当一1时，火工卜一若於)存在唯一零点，则白一1一Ina=0.1 a1i殳力(a)=。-1-In0,则'(0)=1=.当(0,l)时，3)<0,()单调递减；当(l,+),h,(«)>0,Ma)单调递增.所以z()2%(I)=0,故当a1Inl=0时，a=I,综上，人外存在唯一零点时，实数的取值范围为(一8,0U(l).(2)证明：由(1)知，当=l时，"r)=ln(x+l)一在(0,+8)上单调递减，所以/(力认0)=0,即In(X+l)<x在(0,+8)上恒成立.令工=3一"，=1,2,3,，则吊(1+3一")<3一，所以In(l+31)(l+32)(l+33).(l+3,)=ln(l+3,)+ln(l+3-2)÷ln(l+33)+-予)Illlln(l+3w)<3-,÷32+33÷+3,'=-=×<,所以ln(l+3,)(l+32)(1+33).(1+3w)<=lne.所以当wN",(1+3,)(1÷32)(1+33)(1+3m)<.5.已知函数/(X)=HnX+a2(+2)x(a>0).(1)讨论函数应r)的单调性；(2)设川，X2(<na2)是函数g(x)=U)$2+3+1口的两个极值点.证明：g(x)-g(x2)<.解：(1)因为«r)=HnX+2-(+2)M>0),该函数的定义域为(0,÷o°),2x2-(+2)x+(2-a)(x-i)J(x)=-+2x-(+2)=-因为«>0,由f'(x)=O得X=F或X=1.当g=l,即。=2时，/(x)20对任意的X乂)恒成立，且/(X)不恒为零：此时，函数/(x)在(0,+8)单调递增：当列，即0>2时,由/(x)>0得OWI或W;由，(x)<0得Ivr号此时，函数段)在(0,1),+8)单调递增，在。，5单调递减；当vl,即0<«<2时，由，(x)>0得0<x<§或x>l:由f,(x)<O得3<v1.此时函数人0在(0,9,(1,+8)单调递增，在1)单调递减.综上所述，当=2时，函数兀O在(0,+8)单调递增：当32时，函数段)在(0,1),(J,+8)单调递增，在(1,3单调递减；当0<<2时，函数«r)在(0,(1,+8)单调递增，在1)单调递减.(2)证明：因为(x)=6zln.r÷x2-(÷2)-jr÷(6r÷l)x=rlnx+%x,其中x>0,八,a.x2-x÷所以g'(x)=-+-l=.因为g(X)有两个极值点.，X2(0<V<X2),所以方程x2-+=0在(0,+8)上有两个不等的实根X,2.J=I4a>0,所以<项+x2=1>。，解得Oy=所以O<x<血KIX2=4>0,所以g(x)-g(M)=lnXi+pj-Xi-ln12+1一12)=。1*+；(蒲一后)一(不一切)r>J=Hnc+g(2x1)(2x11)9I=Hn非一X2XLI)=2anXi-Hn+g令h(x)=2cnX-X-ln+x,其中0<r<<,则(x)=-l=2当Oa<加时，h'(x)>0:当2<x<W时，h,(x)<0.所以力(X)在(0,2)单调递增，在(2,W)单调递减.所以(x)max=(2)=2«ln2a-2aan。+；=Hn4。-2a+：=a(ln4«2)÷<.所以g(x)-g(x2)<T
