专题跟踪检测（二十九）利用导数研究函数零点问题.docx
专题跟踪检测(二十九)利用导数研究函数零点问题1. (2023西阳一棋)已知函数y()=e'-20v-A.(1)讨论函数的极值；(2)当X)时，求函数段)的零点个数.解：(1)由题意得/(X)=ev-2A.当2W0,即“W0时，/(x)>0恒成立， 几1)在R上单调递增，无极值.当2>0,即>0时，令/(x)=0,解得X=In2, 当x(-8,ln2)时，/(x)v;当x(ln2a,+8)时，()>0. «r)在(-8,ln20)上单调递减，在(In24,+8)上单调递增.(x)的极小值为火In2a)=a-2an2af无极大值.综上所述，当W0时，.")无极值；当>0时，/W的极小值为-2Hn2,无极大值.(2)由知，当X)时，/)在(一8,ln24)上单调递减，在(In2凡+8)上单调递增：当0<<时，y(ln2a)=a-2an2>0,.JU)>O恒成立，|x)无零点：当a=当时,4n2)=。-2Hn2=0,凡¥)有唯一零点X=In2a;当a>；时，(ln2a)=-2ln2a<0.当X趋近于负无穷大时，"r)趋近于正无穷大，当X趋近于正无穷大时，人幻也趋近于正无穷大，."r)在(一8,M2)和(In2,+8)上各存在一个零点，即段)有两个零点.综上所述，当0<4<*时，式刀)无零点：当=半时，Kx)有且仅有一个零点：当>当时,/U)有两个不同的零点.2 .已知左£R,函数"x)=3Ina+l)+Sirj+fcr,x(-1,2).(I)若k=0,求证：AX)仅有1个零点；(2)若Ar)有两个零点，求实数&的取值范围.27r3TLX解：(1)证明：当k=0时，(x)=31n(x÷l)÷sinzx,x(-1,2),f(x)=7÷cosr>1兀乙Xl"1乙÷cosy>0,所以外)在(一1,2)上单调递增，且40)=0.所以外)仅有1个零点.(2)由已知，得/(X)=Fa+c。S手+攵，当女20时，/(x)>0,Ar)在(-1,2)上单调递增，此时火x)仅有1个零点0;当=一4时，x(-1,0)时，设g(x)=Y+cos券+攵，XIiN3则短(X)=Q.+)2_斗岩V_3一冬in<0,所以/(x)在(一1,0)上单调递减.3所以/(x)>(0)=4+2=0.所以於)在(一1,0)上单调递增，x(0,2)时，f(x)=Hf+COS春+k<4+A,f(x)=-r÷cos-4<0,所以y(x)在(0,2)上单调递减，此时兀0仅有1个乙XI1乙零点0;当Z£(4,0)时，f'(x)=÷cosy÷A:,由上知外)在(一1,0)上单调递增，在(0上/(0)=4+>0,f,(2)=<0,所以存在m(0,2),使得f(xo)=O,TM在(0,xo)上单调递增，在(血2)上单调递减，所以7Uo)MO)=O,2)=31n3+2,要使危)有两个零点，则<2)=31n3+2K0=k<-ln3,此时代(一4,一孤3)；当k(-8,4)时，由上知人外在(0,2)上单调递减，且(K)在(一1,0)上单调递减,/(0)=4+kv0,X£(1,0)时，f(X)=7j+cos,+2,则/'(一一3>°，所以存在x(-0),使得/(x)=0.所以加)在(T,为)上单调递增，在(Mo)上单调递减.所以危D次O)=0.x(-l,0)时，J(x)=31n(x+1)÷¾inx+Ax<3In(x+)kt所以1+e§<0.所以/)在(一1+e上，X)上有1个零点，此时段)有两个零点.综上，攵的取值范围为(一8,4)U(4,一去n3).Y3 .(2023扬州模拟)已知函数/(X)=五;，(x)=-In-rm.(1)若/U)的最值和g(x)的最值相等，求m的值；(2)证明：若函数尸(x)=Kt)-g(x)有两个零点即，也，则InX+lnM<0.解：(1)由题意得f=r,令/(x)X),可得x<l,所以函数在(一8,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，则7(x)m=y(l)=五.又g(x)=-lnx+wi,X-1所以g'=丁，QO令g'a)>0,可得Q1,所以函数g()在(0)单调递减，在(1,+8)单调递增，则g()min=g(l)=l+M.由题意可知*=l+m,相=*1,所以小的值为一1.(2)证明：若尸(X)有两个零点沏，x2f不妨设O<M<x,尸(X)=去+ln-M设AL=八，W=/DCvvICA212,(2+lnr-n=O,由F(X1)=F(X2)=O,得，2/2÷Int2-tn=0f因为函数y=%+lnZ?是增函数，所以九=屹则升=今，设¥=>1)，则X2=,/CXCV2人2I1/Int欲证InXl+InX2,即证xX2<1,即证(岩)Vl，只需证Inr<r-(r>l)(*).设力(X)=InX其r；),x>,'(X)=(瞟D,在(1,÷)±,(x)<0,MX)单调递减,所以/G)C(l)=0,所以InAr一共LO<0(Q1),令x=i即得(*)成立，从而命题得证.4.己知函数人V)=X2SinX.(1)求7U)在(0,TC)的极值；(2)证明：函数g(x)=ln-yu)在(0,TC)上有且只有两个零点.解：由y(x)=-2SinX,得f(X)=I2CoSX,x(0,).令(x)=Ot得X=参当。0寸时，/(X)<o,此时函数y(x)单调递减，当?5v兀时，/()>o,此时函数负力单调递增，所以函数J(x)的极小值为店)=13,无极大值.(2)证明：(x)=lnX/(x)=ln%x÷2sinx,x(0,),则g'(x)=-1+2cosx.令(x)=÷2cosx-l,则“(X)=2sinx.当x(0,兀)时，'(X)=一己一2sinx<0,则P(X)在(0,)上单调递减.因为3©)=(>0,8e)=>1<0,所以存在XOW(三，9，使得Pao)=g'(xo)=O当X变化时，g(x),g'(X)变化如下表:X(0,Xo)Xo(o.)g'(X)+0g()单调递增极大值g(xo)单调递减则g(M)>g侪>0又痣)=琮Tr11X一1+1,令(X)=InXx+1,其中0<x<l,则/?'(x)=-1=->0,所以函数力(x)在(0,1)上单调递增，则力(x)<力=0.所以/?6)=琮一5+1<0,由函数零点存在定理可知，函数g(x)在(0,)上有两个零点.
