专题跟踪检测（二十八）利用导数研究不等式问题.docx
专题跟踪检测(二十八)利用导数研究不等式问题1.(2023烟台二模)已知函数y二,(I)求T(X)的单调区间；(2)当心>1时，Ar)+A(l+lnx)W0,求实数Z的取值范围.-f+2x解：(1)函数KX)=/的定义域为R,导函数f(X)=令/(x)>0,得(Kv2,此时犬力在(0,2)单调递增；令/(x)v,得XVO或x>2,此时於)在(一8,0)和(2,+8)单调递减.综上，於)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(一8,0)和(2,÷oo).(2)法一：当Ql时，1+lnx>0,所以收袤"仑荷.设8。)=晟"£方产>1),则g'(x)-2xnx÷x2+x2lnx(1)若函数Ar)在1,4上单调递增，求。的取值范围；(2)若。>0,求证：/()(x-2Ina).解：(1»'(x)=lnx+l,因为函数KjO在1,4上单调递增，所以/(x)20在1,4上恒成立.又/(X)=In工一。+1在1,4上单调递增，所以/(x)min=。+1所以一。+1-0,解得Wl.所以。的取值范围是(-8,1.(2)证明：因为a>0,x>0,所以要证y(x)Wx(-2In4),只需证InXaWx2InA.1令g(%)=x+-2-In。-lnx,则g'(X)=IQ=当Oa<1时，gf(x)<0,函数g(x)单调递减；当Ql时，g,(x)>0,函数g(x)单调递增.所以g(x)2g(l)=。-1-InA.aif1a1令人()=-1-ln4(>0),则力(«)=1-=,当OVaVl时，h,(a)<0,力()单调递减，当a>l时，h,()>0,力()单调递增.所以=l时，()取最小值,则Ma)211)=0.所以当4>0时，力3)20,因此g(x)e.所以Kt)x(x-2Ind).3.已知函数/(x)=XSinX+cosX,E-,.(1)求火x)的单调区间与最值；(2)若存在沏0,使得不等式yU>)20(j+l)成立，求实数4的取值范围.解：(Iyr(x)=sinx+xcos-sinx=xcosx,所以在(一,一。(0,§上，/(x)>0,於)单调递增，在(甘，0),&兀)上"(x)<0,人的单调递减.所以外)单调递增区间为(一兀，一号，(。，舒，单调递减区间为(一冬0),(j,)启)=4甘)=$-)=y()=-l,)=11所以/)max=5TWmin=T(2)设尸(X)=XSinX+cos-(f+1),x0,K,)F,(x)=xcosx-2ax=x(cos-2a)f当20W-l,即虑一；时，F'(x)0,尸(X)在0,兀上单调递增.所以Fa)max=F(兀)=1。(f+1)20,W-兀2；，所以aWT成立；当2421,即寸，F'(x)0,尸(x)在0,兀上单调递减，尸(X)nm=尸(O)=I。20,即l,所以l;当一；Va弓时，3xo三(O,),COSXo=2,当X£(0,xo),CoSX>2。，F,(x)>0,77(x)单调递增，当X£(汨)，),CoSXV2,F,(X)V0,77(x)单调递减，所以Fa)max=尸(XO)=XOSinXo÷cos的一(j+1)=XoSinXO+cos向一>s(÷D.1君=xosnXo十cosxo-ycosxq.1X2令(x)=xsinx+,COSx-cosxtx(O,),1 Y2I,(X)=2Sinx÷ysinx>0,所以3(x)>3(O)=5.所以F(xo)O成立.综上，4的取值范围为(-8,.4.(2023合肥模拟)已知函数/(x)=Aln.L呼x2x+1有两个极值点XI,小且x<V2求TUD的取值范围；若Zr<X2,证明：8x<a.解：(1)由已知得r(X)=InX一以在(0,+8)上有两个变号零点，即。=乎有两个不等实根.设g。)=乎，g,(X)Jn”,当O<x<e时，g,(x)>0,当>e时，g'()<0,则g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，g()nm=g(e)=:,又g(l)=0,且当x>l时，恒有g(x)>O成立，于是0<</，且I<x1<e<x2.即有y(x)=xlnXi-ax-+1.又=个:，则危I)=Xllnxx+1=prlnx-x÷1.令人(x)=%lnxx+1,x(l,e),则/?'(X)=；(Inxl)v,即力(X)在(1,e)上单调递减,从而(x)(l0),所以加)(1一*0)(2)证明：由(1)知，方程InXor=。的两个实根Xi,x?,即InXl=i,Inx2=v2.InX2-InxiP劝.亦即InX2InXi=a(X2即)，从而a=.设=-a,又0<2%<X2,即介2.X2XXl要证8x1V,印证31n2+lnx<21n及，印证31n2+奴<20m,即证。(功x)>31n2,即组一1,InX2一InxiC.X22x2-xc、M.2r1证(2x2-)>31n2,印证ln>31n2,即证ln77>3ln2,即证pin>31nX2-X/'XlX2XlXlX2_.t1Xl2.2/-12r÷-lnt-3令0(f)=Lln/(f>2),则e'(t)=(/_>(>2)设产=2+lnr-3(02),F,(z)=2TT=0，+IjL%,3则产在(2,+8)上单调递增，有F(f)>P(2)=-ln2>0.2/1于是，>0,即有Wa)在(2,+8)上单调递增，因此3>p(2)=31n2,即ln>31n2,所以8x<成立.el*V*X(l÷lnx)2'设h(x)=-x-2xlnx÷x2÷,v2lnx,则h'(X)=(%1)(3÷21nx).当QI时，恒有3+2InQah,(x)>0,A(x)在(1,+8)单调递增，所以Mx)AZ(I)=O恒成立，即g'(x)>0,所以g(x)在(1,+8)单调递增.所以当心>1时，g(x)>g(D=-所以2的取值范围为(一8,一.、土一h7一ISX-A(l+lnx)X-M(l+lnx)法：由心>1可得了W;即蓝W尸i.VVVX因为x>l,所以Elu>0,可得一M2'恒成立.e'I+lnXgl÷lnxV1设g(x)=3，则g'(X)=-.当x>l时，g,(x)<0,g(x)在(1,+8)单调递减.下证xlnx>l在(1,+8)上恒成立.1X1令人(x)=xlnx,h'(x)=1所以力(x)在(1,+8)上单调递增，得MX)>力(1)XY1+nxe*=1,所以x>1+Inx>L所以g(x)<g(1+In),即Ki+m；，所以T11一：LCe1IinXgl+ln.r所以一或21,可得AW-L所以女的取值范围为(一8,二.ec.2.已知函数/(x)=x(lnx),R.
