概率统计与矩阵分析.docx
概率论与数理统计随机变量的分布分布函数F(X)：F(X)表示随机变量X落在区间(-8,X上的概率。随机变量：离散型、非离散型(连续型、奇异型)离散型随机变量分布：01分布、二项分布、泊松分布连续型随机变量分布:均匀分布(Unifdrmdistribution)>正态分布(高斯分布normalorGaussiandistribution)>指数分布(exponentialdistribution)正态分布指数分布XN(,?),X的分布密度函数XE(4),X的分布密度函数X的分布函数随机变量的数字特征数学期望(平均值)1反映统计变量自身特征)数学期望的性质E(XY)=E(X)E(Y)(X、Y相互独立)方差(variance)(反映统计变量自身特征)标准差(均方差)(X)=D(X)方差的性质协方差(COnVarianCe)和相关系数(反响统计变量之间的关系)协方差的性质E(XY)2E(X2)E(Y2)(柯西施瓦兹不等式)协方差与X,丫量纲有关，为更好地反映随机变量X,Y之间的关系，引入相关系数X-E(X)丫一七(丫)1=-,Yl=.Jo(X)yD(Y)X,Y独立，那么不相关。X,Y不相关，那么不一定独立。(X,Y)服从二维正态分布N(1,2，b；，8，p)时，X和丫不相关，那么X与丫独立。反之亦然。矩和协方差矩阵数学期望、方差、协方差均可以看作矩的特例X的k阶原点矩X的k阶中心矩二维随机向量(X,Y)X,丫的(k+l)阶混合原点矩X,Y的(k+l)阶混合中心矩随机向量(X,Y)的协方差矩阵，即为它们的4个二阶中心矩。假设(X,Y)N(4,2。；,无,夕)，那么(X,Y)的协方差矩阵为矩阵行列式性质行列式与它的转置行列式相等互换行列式两行(列，行列式变号如果行列式有两行(列)相同，那么行列式为零行列式的某一行(列)同乘-数k,等于用数k乘此行列式行列式中如果两行元素成比例，那么行列式为零如果行列式中某一行(列元素都是两数之和，那么行列式等于该两数列分别形成行列式之和把行列式某一行(列)乘一数加到另一行(列)对应元素上，行列式值不变正定矩阵的判定A为实对称阵n×n< >对任意向量X有，x,Ax>O(定义)一-A的所有特征值都是正数< ->存在非奇异阵P,使得A=PT< T各阶顺序主子矩阵都是正定矩阵(由定义推得)实对称矩阵的正负定性质A>Otr（八）>j(i=l,.,n)A0tr（八）>O(i=l,.,n)A>0A',>0AX)一任一n阶非奇异阵C,C,AC>OA0一任一nxm矩阵C,C,AC>O克罗内克(kronecker)积，ordirectproduct,tenserproduct,kroneckerproducct这种乘积不受矩阵行数和列数的限制。定义：A=(%)wC叫B=Sij)WCPR那么为A的克罗内克积，或称A与B的直积，或张量积tensorproduct,记为A8=(%8)妨户股。性质AMm-4，&儿"，BPXP>A(三)B的mp个特征值4"(i=l,2,.w,y=1,2,.p),对应儿多的特征向量为OyjAi%.相似于外品Ai克罗内克(kronecker)和矩阵An+mB的特征值是r+s,特征向量是xrys(r=1,2,.,m,s=1,2,.,ri)元素为1或一1的矩阵"R"n,HHT=叫,那么H称为n阶哈达马矩阵。矩阵拉直运算matrixstraightoperatorA+B=A+B,kA=kA&曲，BXXmXfl,AX=(A)X一般线性矩阵方程通过矩阵拉直，可以求解未知矩阵X,以上方程转化为G=EA身，C=Cr=l矩阵方程AX+XB=C有唯一解XCmxn的充要条件是4+j0(/=1,见j=1,.,n)矩阵方程X+AXB=C有唯一解XCnXn的充要条件是ii-1(/=Uw;；=1,.,)函数f(x)在x+处的泰勒展开Fourier变换正变换逆变换Matlab内建傅立叶变换公式正变换逆变换clc;clear;Fs = 1000;dT = 1/Fs;1000;(0:L-l),*dT;%Samplingfrequency%Sampletime%Lengthofsignal%Timevectorand a 120 Hz sinusoid%Sumofa50Hzsinusoidx=0.7*sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*120*t);y=x+2*randn(size(t);%2NFFT>=abs(L)NFFT=2nextpow2(L);%Nextpowerof2fromlengthofyY=fft(y,NFFT);Ynew=ifft(YrNFFT);y(end+l:NFFT,1)=0;fork=IiNFFTYl(k,1)=sum(y(1:NFFT).*exp(-i*2*pi*(OzNFFT-I),*(k-l)NFFT);endforj=1:NFFTynewl(j,l)=sum(Yl(1:NFFT).*exp(i*2*pi*(OzNFFT-I),*(j-l)NFFT)NFFT;endf=Fs2*linspace(0,1,NFFT/2+1);%Plotsingle-sidedamplitudespectrum.plot(fr2*abs(Y(l:NFFT/2+l)title(,Single-SidedAmplitudeSpectrumofy(t),)xlabel(,Frequency(Hz),)ylabel('Y(f)I')
