用不动点法求数列通项公式.docx

用不动点法求递推数歹此.=f三(a%20)的通项储炳南要做堵在前才当2466001.通项的求法为了求出递推数列，用的通项，我们先给出如下两个定义:c(+d定义1：假设数列乙满足1=("),那么称/()为数列乙的特征函数.定义2:方程/(x)=X称为函数/(X)的不动点方程，其根称为函数/(X)的不动点.下面分两种情况给出递推数列=at',+bj通项的求解通法.f+d(1)当c=0,时，,ah由z,+l-C*_1.-=乙+1=二.4+;，ctn+add记q=%,2=c,那么有%=h,+c(k0),dd.数列tn的特征函数为/(x)=kx+c,由kx+c=x=>x=三，那么f+1=kt"+cnf,用一丁Jr=ktnI-KI-K-数列匕-工是公比为k的等比数列，I-K(2)当c0时,数列'”的特征函数为："M三I由一:=X=CX2+3d)x-b=Ocx+d设方程c/+(d-)x-b=O的两根为Xi,x2,那么有:cx+(d-)x-b=0,cx÷(J-ci)x2-b=0.,.b=cx+(d-)jq(1)b=cx1+(J-a)x2(2)又设山二%=h仁土（其中,nN*,k为待定常数）.,j,i一招z,X,=atn+b-cx3-d%=ktll-xlatn+b-cx2tn-dx2tn-x2将(1)、(2)式代入式得：数歹Ij仁土是公比为土0(易证”色WO)的等比数列.tn-x2a-Cx2a-CX12.应用举例例1：数列aj中，a1=2,4+|=2。；+1,求aj的通项。解：因为EJ的特征函数为：/(X)=生也,由/(X)=-=XnX=1,、a11+=-=勺+1.1=g(“一D数列Erl是公比为4的等比数列，3.an-l=(1-1)(),'=>an=l+(一)/-1.4一2例2数列aj中，a1=3,竺，求aj的通项。凡+1解：因为a3的特征函数为：/(X)="三，x+1lY2C由/W=X=>X23x+2=0=>x1=lix2=2x+1K-21+1=k=3即&二1.=3.巴1.二1.,2。+1-22alj-2数列l&zl是公比为3的等比数列.例3数列aj中,a1=2,。用=X,求区的通项。1一凡解：因为EJ的特征函数为：f(x)l÷xI-X由/(X)=X=X2+1=OnXl=i,x)=-i1-x1+/i设Ui=h-=上J=+i%+i1+勺Ija+i1一。数列a4是公比为l±i的等比数列.(2-z)w-1+2Z=an=72+Z-(2-Z)/例4数列圆的前n项和为S“，=g，5一(九一1),求瓜的通项。解：Sn=n2an-n(n-l)J5m+1=(n+l)2+1-(n+l)n一得：all+i=(n+)2an+i-n2atl-(n+)n+n(n-)7?2=(+2)zj+1=nall+2nrt+1=-an+-n+2+2因为EJ的特征函数为：f(x)=/一x+二一，n÷2n+2由/(X)="x+2=%=x=1.n+2n+2设4T="n%=2+1，%=5+l将代入得：白山+1=-(2+1)+-：.bn=bAAA.h_,h=a-=-l仇回/加2.1123n-1。-2345n+1(11+1).*.all=bn+=-n(n+1)