用冲激响应不变法将以下.docx

1 .用冲激响应不变法将以下/(三)变换为H(Z),抽样周期为T分析：冲激响应不变法满足人()=ha(t)i=nT=ha(nT)，7为抽样间隔。这种变换法必须(三)先用局部分式展开。第(2)小题要复习拉普拉斯变换公式mW=T1.jS"AtnAha(t)=u(t)OH(三)=(n-l)!a(S-So)”可求出h(k)=Tht(t)(=kT=Tha*T)，又kx(k)0-ZaX(Z)I那么可递推求解。dz解:由冲激响应不变法可得：(2)先引用拉氏变换的结论1.卜=£s可得：/=F)2 .模拟二阶巴特沃思低通滤波器的归一化系统函数为：而3dB截止频率为50Hz的模拟滤波器，需将归一化的HAS)中的S变量用，一来代替2×50设系统抽样频率为=500Hz,要求从这一低通模拟滤波器设计一个低通数字滤波器，采用阶跃响应不变法。分析：阶跃响应不变法，使离散系统的阶跃响应等于连续系统阶跃响应的等间隔抽样，g()=g“(r)Iir=g,5T),由模拟系统函数H(三)变换成数字系统函数的关系式为："(Z)=曰2厂，还要用到一些变换关系式。解：根据书上公式可得模拟游波器阶跃响应的拉普拉斯变换为：由于故g4)=ZG)那么g()=ga(nT)利用以下Z变换关系：且代入可得阶跃响应的Z变换由此可得数字低通滤波器的系统函数为：3 .设有一模拟滤波器抽样周期T=2,试用双线性变换法将它转变为数字系统函数(N)O分析：双线性变换法将模拟系统函数的S平面和离散的系统函数的Z平面之间是一一对应的关系，消除了频谱的混叠现象，变换关系为S=C-。l+z,解：由变换公式S=C.1z'1+z,及C=2可得：TT=2时:4 .要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换导出一低通数字滤波器，3dB截止频率为100Hz,系统抽样频率为IkHzo分析：双线性变换关系同上题，先要用归一化的巴特沃思滤波器(QC=1)。利用S=S/。,关系代入其中得到截止频率为2'的模拟巴特沃思滤波器，然后变换成数字巴特沃思滤波器。解：归一化的二阶巴特沃思滤波器的系统函数为：那么将S=%代入得出截止频率为的模拟原型为由双线性变换公式可得：5 .试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数（设e=radsK分析：巴特沃思逼近或称最平幅度逼近，其幅度平方函数定义为此题利用幅度平方函数求出其左半平面极点而求得系统函数，解：幅度平方函数为：令Q2=-s2,那么有各极点满足下式：,r112-1I/-JTj4=Q，k=l,2,3那么k=l,2时，所得的力即为HQ（三）的极点:由以上两个极点构成的系统函数为6 .试导出二阶切贝雪夫低通滤波器的系统函数。通带波纹为2dB,归一化截止频率为。=radso（试用不同于书本的解法解答）分析：切贝雪夫滤波器的幅度特性就是在一个频带中（通带或阻带）具有等波纹特性；一种是在通带中是等波纹的，在阻带中是单调的,称为切贝雪夫I型；一种是在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的，称为切贝雪夫II型。切贝雪夫I型滤波器的幅度平方函数为：由上式可以看出切贝雪夫滤波器有三个参数：此三个参数给定后，可以求得滤波器的系统函度平方函数的极点为：其中（女二1,2,，2M注意在求系统函数分子的系数时，对切贝雪夫滤波器，对N=偶数，当S=O（Q=O）时，解.trr因为截止频率为c=2rad/s,那么7 .模拟'滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型，而实际应用中的数字滤波器有低通、高通、带通、带阻等类型。那么设计各类型数字滤波器可以有哪些方法？试画出这些方法的结构表示图并注明其变换巴特沃思频率响应，采用双线性变换法设计;(2)当0Z5"z时，衰减小于3dB；(3)当f5O"z时，衰减大于或等于40dB;(4)抽样频率，=200也。试确定系统函数H,并求每级阶数不超过二阶的级联系统函数。分析：由模拟角频率先用线性变换变成数字角频率(=T)t各临界频率例变换成样本模拟滤波器的各临界频率。O用这些。来设计“样本”模拟滤波器的系统函数，($),然后再用双线性变换得到数字源波器的系统函数。解：采用双线性变换法：由指标要求得：又风"。二一1取等号计算，那么有：得取N=2,代入式使通带边沿满足要求，又二阶归一化巴特沃思滤波器为：代入S=S/R由双线性变换或者也可将N=2代入（2）中使阻带边沿满足要求，可得Q.=40,这样可得：9.用双线性变换法设计一个六阶巴特沃思数字带通滤波器，抽样频率为£=500/，上、下边带截止频率分别为72=150/,工=30HZo分析：设计数字带通滤波器可用归一化原型（Q=l）的模拟滤波器作为“样本低通滤波器”（查表即可得其系统函数的系数），然后一次变换到数字带通滤波器。变换关系为：数字滤波器类型频率变换式设计参量的表达式带通Jl-EZT+z-2-S=DI-Z-2COSGo-cos1.21.Jsin(w%-,O=Qcot(1.)C22cos2+%)/2cosfe>2-d>1)2=2cos<0解：由模拟低通一数字带通取归一化原型，c=lt那么有：查表得三阶归一化巴特沃思低通滤波器的系统函数为：代入后整理可得：10 .要设计一个二阶巴特沃思带阻数字滤波器，其阻带3dB的边带频率分别为40kHz,20kHz,抽样频率£=2004Hz。分析：同样利用归一化原型低通滤波器作为“样本”一次变换成数字带阻滤波器。变换关系为:数字滤波器类型频率变换式设计参量的表达式带阻1.DT,1-F1z,+z2=D1CoS6y-cosgD1=CCtan(g1.)_2cos2+©)/22一cos(cy2-l)2=2cos%解：11 .用双线性变换法设计一个六阶切贝雪夫数字高通滤波器，抽样频率为fs=SkHz,截止频率为fc=2kHzo（不计4kHz以上的频率分量）分析：同样利用归一化原型低通滤波器作为“样本”一次变换成数字高通滤波器。变换关系为：数字滤波器类型频率变换式设计参量的表达式高通Cl+z,s=C.,11-z,=C,cot,2C1=tan1'2解：不妨用d=3d5的三阶切比雪夫低通系统函数，查表得：化简可得：12.试导出从低通数字滤波器变为高通数字滤波器的设计公式。分析：变换类型变换公式变换参数的公式低通一高通COSy)a=cos()2解：低通变成高通，只需将频率响应旋转180度,即将Z变换成-Z即可,所以我们只需将低通一低通变换公式中得ZT用-Z-I代替，就完成了低通到高通的变换，由此可得：=_l+aejafc13.试导出从低通数字滤波器变为带通数字滤波器的设计公式。分析：变换类型变换公式变换参数的公式低通一带通7-22ak、k-lZr4十ZT=氏+1Z+1rlz-2.21.z-+k+k+cos(-2l)a=t(O1-691.cos(-)=COS690k=cot(-g-)tan22g,例为要求的上、下截止频率g为带通中心频率解：低通与带通间的关系可以查看数字信号处理教程，其中组,多分别为带通滤波器通带的上、下截止频率，O(I为带通中心频率。14.试导出从低通数字滤波器变为带阻数字滤波器的设计公式。分析，变换类型变换公式变换参数的公式低通一带阻22.,l-2乙乙十ZT=Z+1-+11.zz2-z,÷i左+1左+1现+例cos(-=1.)a=cosgfz一必、cos(l)fk=tan(=l)tan22叱，例为要求的上、下截止频率为为带通中心频率15.令儿和儿(三)分别表示一个时域连续的线性时不变滤波器的单位冲激响应,单位阶跃响应和系统函数。令以),$()和H(Z)分别表示时域离散线性移不变数字滤波器的单位抽样响应，单位阶跃响应和系统函数。(1)如果力()=4(7),是否s()=£4(叮)？三-co(2)如果s5)=,(W),是否C5)=45T)?分析：此题解题关键知识点：由力()导出s()：s(fi)=w(w)*h(ri)由s(n)导出h(n)：h(n)=S(M)s(n-1)解：解：(2)16.假设/G)在S=S。处有一个，阶极点，那么儿(三)可以表示成分析：(2)利用本章第1题的结论：(4)按第-题的讨论可得：解：由%(三)=QG)->(s-s()故由拉氏变换两边乘(S-SO)"再求导数得：(2)可利用本章第1题的结论得：1zr-r1=7内Thk1.So)"""(S'】(r-k)lJsA是一个常数。此题是（八）由Ha(三)计算各常数A的方法为：那么有：由于(S-SOy乩(三)在S=So处没有极点，因而可在5。周围展成台劳级数，即：()式与(/)相比拟，看出P=O时Ar(s-sqYHa(三)S=SOP=I时AT=:KS-So)/,小S=SO："2S=SUP=2时A,2=-(5-50)W.(5)2ds1dpP=P时A=-(s-s0)Ha(三)pdspS=SO令r-p=，即p=r-k可得A=Ar-p(b)与第1题的讨论相似，可得:即4=-±-(s-syH(三)r-k)dsr-k°八(C)求”(z),先求按第1题讨论知：S)系数：A1A1TAqA"，犷Z-'(攵=2,3,r)点的变换方法一样。(c)GQ(三)G(z)的方法与一阶极17 .图P5-17表示一个数字滤波器的频率响应。(1)用冲激响应不变法，试求原型模拟频率响应。(2)当采用双线性变换法时，试求原型模拟频率响应。分析：解:冲激响应不变法：(2)双线性变换法根据双线性变换公式可得：故18 .需设计一个数字低通滤波器,通带内幅度特性在低于G=O.34的频率衰减在内，阻带在=0.5乃到不之间的频率上衰减至少为25dB。采用冲激响应不变法及双线性变换法,试确定模拟系统函数及其极点，请指出如何得到数字滤波器的系统函数。(设抽样周期T=l)°解:(1)以巴特沃思滤波器为原型（八）冲激响应不变法那么有临界条件为：根据极点公式可以求得此系统函数的极点为：由此可以得出系统函数的表示式为：将此系统函数展成局部分式：(b)双线性变换法由题目所给指标可得：由此可得临界条件为：以上两式联解得：N=5524可取N=6根据极点公式j-+-11Sk=QCe22,(%=1,2,.,6)可得:此时极点应为：查表得归一