用空间向量解决空间几何的问题讲义.docx
用空间向量解决空间几何的问题讲义前后：立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。知识梳理1 .空间直角坐标系：在空间选定一点。引三条互相垂直且有相同长度单位的数轴：X轴、y轴、Z轴,它们都叫坐标轴.我们称建立了一个空间直角坐标系O-盯z,点。叫原点，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为Xoy平面，Z平面，ZOr平面；作空间直角坐标系。一肛Z时，一般使NXQy=I35(或45),ZyOz=90；在空间直角坐标系中，让右手拇指指向X轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向Z轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系。规定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系.2 .空间直角坐标系中的坐标:如图给定空间直角坐标系在空间直角坐标系0-WZ中，对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z)叫A在空间直角坐标系O-AyZ中的坐标，记作A(X,y,z),X叫横坐标，y叫纵坐标，Z叫竖坐标.3 .空间两点间距离假设A(xl,y1,z1),B(x2,y2,z2)IAB=(2-X1)2+(y2-yl)2+(z2-zl)2特别地，A到原点的距离IAa=4+,2+(2)夹角公式:cos(a-b=-J_他3±她/e-b+÷72÷2+2空间向量法解决立体几何问题一、引入两个重要空间向量1、直线的方向向量；2、平面的法向量。二、立体几何问题的类型及解法1、判断直线、平面间的位置关系；(1)直线与直线的位置关系；(2)直线与平面的位置关系；(3)平面与平面的位置关系;2、求解空间中的角度；3、求解空间中的距离。一.引入两个重要的空间向量1.直线的方向向量：把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(xl,yl,zl)B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是4i向R-z)Tz如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂B直于平面a,记作n±a,这时向量n叫做平面的法向量/一在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢？如图2,必二件旬(Z5、b=(x2,y2,z2)其平面a内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,假设n1.b,那么n±a.换句话说,假设na=Onb=0,那么n_1.求平面的法向量的坐标的步骤：_第一步(设)：设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).W八/第二步例)：根据na=0且nb=O可列出方程组/第三步(解)：把z看作常数,用z表示x、y./第四步(取)：取Z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.例：在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中Q是面AC的中心,求面OAlD的法向量判定直线、平面间的位置关系知识点一，直线与直线的位置关系不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a,b.假设ab,即a=Ab,那么ab.假设a_1.b,即a)=0,/那么a_1.b知识点二:直线与平面的位置关系直线1.的方向向量为a,平面的法向量为n,且1.不在.内假设an,即a=n,那么1._1.假设a_1.n,即an=0,那么a/7.例：棱长的中/(I)A1E±I练习*1：两三棱柱ABC-A1BiC1.,D,E分别是AC,CCia平面DBC|；(II)AB平面DBG个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交与AB,/EBC=90°.M,N分别为BD,AE上的点，且AN=DM,求证：MN/平面EBC;2：在正方体ABCD-AlBlCI.D中，O为AC和BD的交点，G为CCl的中点，求证：AIo_1.平面GBD3.在正方体ABCoAAGR中，瓦尸分别是3片,CO的中点，求证。尸1.平面AOE.知识点三：平面与平面的位置关系平面的法向量为11,平面的法向量为n2假设nln2,即nl=n2,那么假设nl±n2,0Pnln2=0,那么±例：正方体ABCDABGD中，E、F分别是BBi、CD练习：在长方体ABCDABGD中,AB=4,BC=3,AiFDCI平面ABDi知识点四：.求解空间中的距离之异面直线间的距离与点到平面的距离1、异面直线a,b之间的距离可以看成EF(EG,*W)在a,b的公垂向量的方向上的射影的长度。2、A为平面a外一点(如图)，n平面a的斜线AB及垂线AH.=I南I=I而sin6=而HCoSV而11/A例：在直三棱柱ABC-ABG中,AA=>BC=1,NA夕90°面AlBC的距离.z-练习：在长方体ABCD-AIBGD中，AB=4,BC=3,CC=2求证：(1)平面AIBG和平面ABDl的距离B为平面a的法向量,过A作(2)求BI到平面AIBCl的距离课后练习，1、如图，四棱锥P-ABCo中，P/!_1.底面力8四，力反1.力，点E在线段力上，且CEAB,PA=AB=,AD=3,CZ>2,NCDA=45。(1)求证：CE_1.平面9;（三）求四棱锥P-ABCO的体积2、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱尸O_1.底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点。(1)证明PA平面EDB；
