电动力学复习.docx

第零章预备知识一矢量场论要求：掌握梯度、散度、旋度三个重要概念，理解在不同坐标系中不同的表达形式，了解他们之间的关系；掌握高斯定理和斯托克斯定理，能够熟练进行二阶微分运算和算符运算。重点：梯度、散度、旋度三个重要概念；高斯定理和斯托克斯定理。难点：梯度、散度、旋度在柱坐标和球坐标中的表达式；高斯定理和斯托克斯定理；二阶微分运算和算符运算。主要内容方向导数：方向导数是标量函数双式)在一点处沿任意方向对距离的变化率。Iim包=Iim四止皿(1)o/o/梯度：在某点沿某一确定方向取得夕(工)在该点的最大方向导数。grad=7=n2n散度：矢量场,(幻在AV中单位体积的平均通量，或者平均发散量的极限。打而divA=VA=IimvoV旋度：单位面积平均环流的极限。-找小小rotA=V×A=Iim-n(4)oAS梯度在不同坐标系中的表达形式：笛卡儿坐标系C-.-"="不+%而+e至柱坐标系C-.(6)球坐标系1.-.-1=er-+e+el6-rdrrrsin9散度在不同坐标系中的表达形式：笛卡儿坐标系1AOA.VA=-+-+eXdyeZ柱坐标系-11AAVA=(Mr)+一rdrrz球坐标系VA=(r)+-(sin)rorrsin。3，I1叫rsin旋度在不同坐标系中的表达形式：笛卡儿坐标系(10)柱坐标系短自司一d_d_d_VxA=xyzAA，（三）VxA=1一-gr了1一-e.rz4Az(12)球坐标系高斯定理:斯托克斯定理:二阶微分运算:er-厂Sinee0rsin勺¥Arsinfi41rsin(sin%)VxA=11Ara/a、1.aM-e°sindraAr二=VAJVSVds=J(V×A)dSrS笛卡儿坐标系(13)(14)(15)(P上/(PV(P=Z-HZ-H7-,、"廿Sz(16)V2A=(V2Ax)ex÷(V2v)ev+(V2AJe2柱坐标系v7213/。、12u2uV-w=(r)+-+7rdrdrr22z2V2A=(V2A)rer+(V2A)¾+(V2A)2(17)球坐标系7218/2du、1d/.C3”、V-w=()+-(Slng)r2rrr2sin12u(18)r2sin21V2A=(V2A)rr÷(V2A)0e0+(V2A)¾格林定理(西9杰=J(W/+VpV")du(定理I)g.Y、.西二W-()clv(定理11)(20)SV算符的运算(1)V(v°)=oV.(Vxi)=O(3) N(w)=四9+四(4) V3)=0Vg+Vg×(g)=(×g+×g(6)V.(i×7)=.(V×i)-g.(VxJ)这里用到了常矢运算法那么作(法为=B(Wx,)=50xB)V×(×7)=(7V)+(V)g-(g.V)7-(V)7这里用到了常矢运算法那么：a(b×c)=(ac)b-(ab)cV(g)=7×(V×)+(V)g+g×(V×)+(.V)7常用几个公式设r=x-x,=ex(%-x)+ey(y-y,)+e.(z-z)第一章电磁现象的普遍规律要求：掌握电荷守恒定律、洛仑兹力公式、麦克斯韦方程组、边值关系；了解麦克斯韦方程组建立的实验定律根底和过程；并理解介质的电磁性质方程和电磁场与带电物质之间能量守恒。重点：电荷守恒定律、洛仑兹力公式、麦克斯韦方程组、边值关系。难点：麦克斯韦方程组建立的实验定律根底和过程；电磁场与带电物质之间能量守恒。主要内容电荷守恒定律：族出=一JPdrsuV/+2=0(2)t库仑定律:HOvlv2r安培定律:，2显x(0dX弓I)毕奥萨伐尔定律:I,dl,×r法拉第电磁感应定律：§昌疝=-瞪点洛仑兹力：户=R+Rn=q(E+v×B)7=(E+v×B)麦克斯韦方程组：真空中NE=P/Ao(9)110)VxE=-aVB=Ov75EV×=zw÷0-Edl=BdsS小加="o,J加=0,拒加=!JIlM=fScOcOBds=O介质中力=PfR丽v×E=(11)tVB=OV?fjtADNXH=Jfrjtdi=-A"JJ*ds£。加=I,+Dds(12)l由sds=Qfa月本二o边界关系n×(E2-E)=Oii×(H2-Hl)=df(D2-bi)=f(B2-B1)=O(13)介质中电磁性质方程:D=EB=H(14)J=E能量密度：w=-(ED+HB)(15)2能流密度：S=E×H(16)玻印廷定理：=1.v.5-X=-ff（17）dtl_tJRdtf意义：体积V内带电体的机械能的增加，等于从区域V的界面S流进去的能量减去区域V内电磁场能量的增加第二章静电场要求：掌握电标势概念及其微分方程（泊松方程和亥姆霍兹方程）；理解掌握唯一性定理、别离变量法、镜像法；了解格林函数法、电多极矩法。重点：电标势概念及其微分方程，唯一性定理、别离变量法、镜像法、格林函数法、电多极矩法。难点：格林函数法、电多极矩法。主要内容电标势概念及其微分方程：概念丘=7°（1）微分方程力夕二一旦2夕J=阂边界关系,2。夕13-=-cnsns唯一性定理：介质中：设区域/内给定自由电荷分布（1），在，的边界S上给定：（i）电势或无UD电势的法向导数穿|,那么/内的电场唯一地被确定。导体存在的情况：A类问题：区域/中电荷分布。（方,及所有导体的形状和排列；每个导体的电势都给定。B类问题：一区域/中电荷分布。（方,及所有导体的形状和排列；每个导体的总电荷都给定。那么/内的电场唯一地被确定。别离变量法:应用条件：自由电荷全聚集在边界上，也就是说:在要求解电场区域没有自由电荷（泊松方程转变为拉布拉斯方程）+边界条件。拉普拉斯方程v>=o笛卡儿坐标系中拉普拉斯方程及其解r72*“w=T+T+T=ox2y2z2设火Xy,z)=X(x)Y(y)Z(z)(xiy,z)=(Acoskxx+A2sinkxx)(Blcoskyy+B2sinkyy)(C1cosk,z+C2sinkzz)(6)或：(x9y,z)=*"*)*/；(R=k；+k；)柱坐标系中拉普拉斯方程及其解v7,1.1ob八(QsN-=(r)+-7-+-y=Ordrdrr22z2(rt,z)=iJzw(M+A2Nm(kr)1cos(z?)+B1sin(11)9C1cosh(tz)+C2Sinh(Az)其中4()=w=0T为伽马函数）（10JNm(kr)=CoS依;r)，（三）JF(Q)sin(znr)球坐标系中拉普拉斯方程及其解VV=-1-(r2)+-(sin6>-)C11)r2drdrrSineae+r2sin【°(r,e,")=Z(A”/"+M)f(cosO)COSS¢)11,w+Z(C3+)郡(cos。)sin(m0)n,wD轴对称系统(r,)=Z(A+r)B(cosO)(13n=0r球对称系统0=A+C14)r例1：在均匀外电场片中置入一自由电荷体密度为巧的绝缘介质球，介质球的绝对介电常数为以写出该问题的定解条件。解：V21=-V22=O例2:如下图，电容率为£的介质球置于均匀外电场瓦中，设球半径为R。，球外为真空，试用别离变量法求介质球内外的电势。_解：设球半径为尼。以球心为原点，以E。方向为极轴建立球坐标系。以%代表球外区域的电势，G代表球内区域的电势，外均满足拉普拉斯方程，通解为：=:由边界条件：Elfo=Eo,eIi=FRcosO=Fg(Cose)得：a=-E0,an=0f(n1)由边界条件：外IR=O为有限，得d“=0在R=Ro处，=?,ifiIdR=2/R将(1)(2)代入，并比拟Pn的系数，得：.一£:。EOE，CI=一一Eo,bn=cn=0,(z1)£+2分+2%由此，x=-E.Rcos+°+2'0R镜像法应用条件：在求解区域内没有自由电荷，或者只有有限几个点电荷，并且区域边界或介质界面规那么（电场能用等效电荷代替）+边界条件。主要是单导体平面，导体球面等。对于两个导体平面构成的劈形满足像电荷数为（2）-l,并且只有2=偶数才能用镜像法求解，其中为两导体平面间夹角。例3:一个内外半径分别为凡和的接地空心导体球,在球内离球心为（飞）处置一点电荷Q。用镜象法求电势分布。解：假设可以用球外一个假想电荷e代替球内外表上感应电荷对空间电场的作用，空心导体球接地，球外外表电量为零，由对称性，2应在球心与。的连线上。考虑球内外表上任一点P,边界条件要求:QR+Q'R,=O（1）式中R为Q到P的距离，R'为。到P的距离，因此，对球面上任一点，应有：R/R=-Q'/Q=常数只要选择。的位置，使AOQ/AOPQ,那么RR=RJa=常数（3）设Q距球心为b,那么b/用=RJa,即b=由23两式得：Q=_Roa导体球壳接地，电势为Oo|y从球壳外外表到无穷远都没有电荷,所以球壳外电a势为0。卜Qb例4：有一点电荷Q位于两个相互垂直的接地导体平面所围成的直角空间内(如下图)，它到两个平面的距离分别为a和b,求空间的电势。解：像电荷选取如下图，空间任一点P的电势为：1=-4%Q-Qy(x-a)2÷(y-Z?)2÷z2y(x+c)2+z2y(x+a)2+(y+b)2+z2y(x-a)2+(y+b)2+z2格