直线方程及圆、椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及标准方程.docx

直线方程及圆、川圄、双北战、轴物式定义、性质及标军方程归纳受理：杜内1 .斜率公式k=(K(X,必)、£(/,%).2 .直线的五种方程点斜式.v-y=k（-玉）（直线/过点耳（X,y）,且斜率为2）.（2）斜截式）、="+b（b为直线/在y轴上的截距）.（3）两点式>=A'（弘必）（Y（X,弘）、A（X2，必）（xM）为一/一%（4）截距式±+g=l（分别为直线的横、纵截距，。、人0）(5) 一般式Ar+段+C=O(其中A、B不同时为0).3 .两条直线的平行和垂直(1)假设4：y=人冗+4，I1,y=k2x+b24Il4O占=b2；®1±2<=>Zr1Ar2=-1.(2)假设=1x+4y+C=0,4：4工+32丁+。2=0，且Ai、A2、BkB2都不为零,/Jl4OA=空工6；,2A2B2C2412<>A1A2+B1B2=O;4 .夹角公式(Dtana=IfI|1 +k2kl(1'.y=kix+bi,I2y=k2x+b2,kik2-l)(11x+1y+C1=0,22x+B2y+C2=O,1A2+B1B20).直线J、时，直线八与1.的夹角是卫.25/到乙的角公式k2-k.(l)tancr=三l.1+e尢(1'.y=kix+bi,I2:y=k2x-b2,kik2-l)(l：1x+B1y+C1=0,2A2x+B2y-C2=O,1A2+B1B20).直线、时，直线1.到1.的角是工.26.四种常用直线系方程（1）定点直线系方程：经过定点y0）的直线系方程为y-%=A（X-XO）（除直线,t=x0）f其中是待定的系数；经过定点A*。,%）的直线系方程为A（X-用）+例丁-%）=0，其中45是待定的系(2)共点直线系方程：经过两直线4：AX+4)，+C=O,，2：A2+82y+G=O的交点的直线系方程为(AX+男丁+0+4工+员丁+。2)=0(除/2)，其中人是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y="+A中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程.与直线Ar+8)，+C=O平行的直线系方程是Ax+3y+4=0(40),人是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ar+8y+C=0(A0,B0)垂直的直线系方程是Bx-Ay+=0t入是参变量.83.点到直线的距离二四兽J(点P(Xoyo)，直线/：Ar+3y+C=0).A2+B27. Ar+旦y+C>()或<0所表示的平面区域设直线/:AX+By+。=。，那么Ar+8y+C>0或<0所表示的平面区域是：假设3声0,当B与Ar+5)，+。同号时，表示直线/的上方的区域；当3与Ar+8)，+C异号时，表示直线/的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.假设8=0,当A与Ar+8)，+。同号时，表示直线/的右方的区域；当A与Ar+8)，+C异号时,表示直线/的左方的区域.简言之,同号在右,异号在左.8 .(4%+4丁+0(4工+为)，+。2)>0或<0所表示的平面区域设曲线C:(Ax+与y+G)(2x+32y+C2)=O(),那么(AlX+4+。)(4丸+82+。2)>0或<0所表示的平面区域是：(AlX+Bl>÷C1)(2x+B2y÷C2)>0所表示的平面区域上下两局部；(AIX+4y+C1)(A2x÷2y+C2)<O所表示的平面区域上下两局部.9 .圆的四种方程(1)圆的标准方程(x-+(y-32=/.(2)圆的一般方程V+y2+Dx+Ey+F=O(D2+E2-4F>0).(3)圆的参数方程(X=：+rC0Sf.y=b+rsn(4)圆的直径式方程(X-XI)(X-w)+(y-必)(>一必)=。(圆的直径的端点是A(x,y1)>8(12，%)10 .圆系方程(1)过点A(x,y),8(%2，%)的圆系方程是o(x-xl)(x-x2)+(y-y)(y-y2)+(x+y+c)=,其中0r+by+c=0是直线AB的方程，是待定的系数.过直线/:Ar+By+C=O与圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程是x2+y2+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0t是待定的系数.(3)过圆G:/+),2+。俨+4,+耳=o与圆的：42+,2+。/+&，+鸟=0的交点的圆系方程是,V2+/+Dlx+Eiy+Fl+(x2+/+D1x+E2y+F2)=O9是待定的系数.11 .点与圆的位置关系点P(Xo，%)与圆(X-)2+(y-。)2=/的位置关系有三种假设d=J(_Xo)2+S_%)2,那么">0点。在圆外；。=r0点。在圆上；d<ro点尸在圆内.12 .直线与圆的位置关系直线Ax÷3)，+C=0与圆(X-a)?+一加2=/的位置关系有三种:d>r=相离=AvO;J=r<=>相切=A=O;d<rO相交<=>>O.其中d=Aa+Bb-C7a2+B213 .两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为0-O2,半径分别为n,n,i2=dd>+r2<>外离O4条公切线;d=q+<=>外切<=>3条公切线；-r<d<r+r2<=>相交<=>2条公切线；d=r-|O内切=1条公切线；0<J<-Wo内含O无公切线.14 .圆的切线方程(1)圆f+y?+6+玲+/=O.假设切点(为,%)在圆上，那么切线只有一条，其方程是D(xq+x)E(y0+y)XOX+%y+3+:+4=。当“0,%)圆外时，/X+为y+史产+"苧，)+F=O表示过两个切点的切点弦方程.过圆外一点的切线方程可设为y-%=%*-%),再利用相切条件求k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线.斜率为k的切线方程可设为)，="+人，再利用相切条件求b,必有两条切线.(2)圆.Y2+y2=r2.过圆上的E)(Xo,%)点的切线方程为拓工+yQy=r2；.酬率为人的圆的切线方程为y=kx±rl+F.1.椭圆的定义：第一定义：平面内与两个定点耳、鸟的距离之和等于常数(大于旧层I)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。第二定义：动点M到定点尸的距离和它到定直线/的距离之比等于常数e(O<e<l),那么动点M的轨迹叫做椭圆。定点厂是椭圆的焦点，定直线/叫做椭圆的准线，常数叫做椭圆的离心率。说明：假设常数2。等于2c,那么动点轨迹是线段耳入。假设常数2。小于2c,那么动点轨迹不存在。顶点A(-a,0)4(。,0)B2(O,b)4(0，-办4(0，)用(一儿o)、b2(z>,o)对称轴X轴、y轴：长轴长2。，短轴长2b；焦点在长轴上X轴、y轴；长轴长2,短轴长；焦点在长轴上焦点(-c,O)>g(c,O)(O,-c)>6(0,C)焦距闺周=2c(c>0)F1F2=2c(c>0)离心率e=-(O<e<)a=(0<e<1)a准线2x=±-CYC参数方程与普通方程22与+今=1的参数方程为ab仁制。为参数)22二十；=1的参数方程为arb【k：CosM。为参数)x=bsn3.焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。焦半径公式：椭圆焦点在X轴上时，设£、鸟分别是椭圆的左、右焦点，P(0,NO)是椭圆上任一点，那么IP用=+外,归6|=一。推导过程：由第二定义得凹=e(4为点P到左准线的距离)，4/2那么IPEl=e4=e+=exQ-a=a+exQ同理得IPKl="-用。C)简记为:左“+”右“一”。由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。£+£=1；假设焦点在y轴上，那么为£+=1。有时为了运算方便，设nvc2+ny2=(m>0,m)。双曲战的定义、方程和性质1.定义(1)第一定义：平面内到两定点B、F2的距离之差的绝对值等于定长2a(小于IFF,)的点的轨迹叫双曲线。说明：IIPFlHPF2l=2a(2a<FF2)是双曲线；假设2a=FF2,轨迹是以B、F?为端点的射线；2a>FF2时无轨迹。设M是双曲线上任意一点，假设U点在双曲线右边一支上,设M在双曲线的左支上，那么IMBI<MF2,IMFIHMF2=-2a,那么IMFII>MF2,MF-MF2=2a;假故IMBHMFd=±2a,这是与椭圆不同的地方。(2)第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线1.的距离之比是常数e(Ol)的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线1.叫相应的准线。2.双曲线的方程及几何性质标准方程±-%=l(a>O,b>O)V2X2、一r=l(a>0,b>0)a2b2图形/Z/A/Z焦点F(-c,O),F2(c,0)Fi(O,-c),F2(O,c)顶点A(a,O),A2(-a,0)A(O,a),A2(O,-a)对称轴实轴2a,虚轴2b,实轴在X±,c2=a2+b2实轴2a,虚轴2b,实轴在y轴上，c2=a?+b2离心率cIMF2IaMDcIMF,Ie=-=-aIMDI准线方程准线间距离为不I1xy三,l2xy三-准线间距离为苓渐近线方程+Z=0,-Z=0abab+Z=o,-2=obaba3.几个概念(1) 等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x,离心率为(2) 共轴双曲线：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例:鸟一¥=1的共轴双曲线是马一耳二一1。abab双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线;双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。地物战标准方程与几何性质一、抛物线定义的理解平面内与一个定点F和一条定直线/的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F为抛物线的焦点，定直线/为抛物线的准线。注：定义可归结为“一动三定”：一个动点设为-定点尸(即焦点)；一定直线/(即准线)；一定值1(即动点M到定点尸的距离与它到定直线/的距离之比1)定义中的隐含条件：焦点尸不在准线/上。假设户在/上，抛物线退化为过F且垂直于/的一条直线 圆锥曲线的统一定义：平面内与一定点尸和定直线/的距离之比为常数e的点的轨迹，当0<e<l时，表示椭圆；当e>l时，表示双曲线：当e=l时，表示抛物线。 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(称焦半径)与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单化。二、抛物线标准方程1 .抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系,这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。