相似三角形模型.docx
（一）A字型、反A字型（斜A字型）（平行）（不平行）（二）8字型、反8字型蝴蝶型（不平行）（平行）（三）母子型（四）一线三等角型:三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型:（六）双垂型：相似三角形判定的变化模型1 .如图，梯形ABCD中，ADIIBC,对角线AC、BD交于点O,BEllCD交CA延长线于E.求证：OC2=OAOE.2 .如图，在ABC中，AB=AC=IO,BC=16,点D是边BC上(不与B,C重合)一动点，ZADE=ZB=,DE交AC于点E.以下结论：_AD2=AEAB;(2)3.6<AE<IO;当AD=21时，ABD"DCE；DCE为直角三角形时，BD为8或12.5.其中正确的结论是把你认为正确结论的序号都填上)3 .：如图，ABC中，点E在中线AD上，ZDEB=ZABC.求证：(1)DB2=DEDA;(2) ZDCE=ZDAC.4 .：如图，等腰AABC中，AB=AC,AD_1.BC于D,CGlIAB,BG分别交AD、AC于E、F.求证：BE2=EFEG.5 .如图，AD为AABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2=FBFC.6 .：如图，在RSABC中，/090。，BC=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点，PD±AB,交边AC于点D(点D与点A、C都不重合)，E是射线DC上一点，且NEPD=NA.设A、P两点的距离为X,BEP的面积为y.(1)求证：AE=2PE;(2)求y关于X的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当BEP与ABC相似时，求ABEP的面积.7 .如图，在AABC中，ZA=60%BD、CE分别是AC与AB边上的高，求证：BC=2DE.8 .如图，4ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且NDAE=I20。.(1)图中有哪几对三角形相似？请证明其中的一对三角形相似；(2)假设DB=2,CE=6,求BC的长.9 .(：如图，在RtZkABC中，AB=AC,ZDAE=45o.求证：(1) ABE-DCA；(2)BC2=2BECD.10 .如图，在等边ZiABC中，边长为6,D是BC边上的动点，ZEDF=60o.(1)求证：BDESCFD；(2)当BD=I,CF=3时，求BE的长.11. (1)在AABC中，AB=AC=5,BC=8,点P、Q分别在射线CB、AC上(点P不与点C、点B重合)，且保持NAPQ=ZABC.假设点P在线段CB上(如图)，且BP=6,求线段CQ的长；假设BP=x,CQ=y,求y与X之间的函数关系式，并写出函数的定义域；(2)正方形ABCD的边长为5(如图)，点P、Q分别在直线CB、DC±点P不与点C、点B重合)，且保持NAPQ=90度.当CQ=I时，写出线段BP的长(不需要计算过程，请直接写出结果).13 .梯形ABCD中，ADIIBC,且AD<BC,AD=5,AB=DC=2.(1)如图，P为AD上的一点，满足NBPC=NA,求AP的长：(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足NBPE=NA,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q.当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x,CQ=y,求y关于X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；当CE=I时，写出AP的长不必写解答过程)14 .如图，在梯形ABCD中，ADIIBC,AB=CD=BC=6,AD=3.点M为边BC的中点，以M为顶点作ZEMF=ZB,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,连接EF.(1)求证：MEFSBEM;(2)假设ABEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长；(3)假设EF_1.CD,求BE的长.15 .在梯形ABCD中，ADIIBC,AD<BC,且BC=6,AB=DC=4,点E是AB的中点.(1)如图，P为BC上的一点，且BP=2.求证：4BEPsaCPD；(2)如果点P在BC边上移动(点P与点B、C不重合)，且漏足NEPF=NC,PF交直线CD于点F,同时交直线AD于点M,那么当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x,DF=y,求y关于X的函数解析式，并写出函数的定义域;当Smmfsabep时,求BP的长16 .如下图，边长为3的等边ABC,点F在边BC上，CF=1.点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边AEFG,直线EG,FG交直线AC于点M,N,(1)写出图中与BEF相似的三角形；(2)证明其中一对三角形相似；(3)设BE=X,MN=y,求y与X之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；(4)假设AE=I,试求AGMN的面积.17 .如下图，矩形ABCD中，CD=2,AD=3,点P是AD上的一个动点(与A、D不重合)，过点P作PE_1.CP交直线AB于点E,设PD=x,AE=y,(1)写出y与X的函数解析式，并指出自变量的取值范围；(2)如果APCD的面积是AAEP面积的4倍，求CE的长；(3)是否存在点P,使AAPE沿PE翻折后，点A落在BC上？证明你的结论.18 .如图，在RSABC中，ZC=90o,AB=5,tan二,，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF±DE交射线AC于点F.(1)求AC和BC的长；(2)当EFIlBC时，求BE的长；(3)连接EF,当DEF和ABC相似时，求BE的长.19 .如图，在RlAABC中，ZC=90o,AC=BC,D是AB边上一点，E是在AC边上的一个动点(与点A、C不重合)，DF±DE,DF与射线BC相交于点F.(1)如图2,如果点D是边AB的中点，求证：DE=DF;(2)如果AD：DB=m,求DE：DF的值；(3)如果AC=BC=6,AD：DB=I:2,设AE=x,BF=y,求y关于X的函数关系式，并写出定义域；以CE为直径的圆与直线AB是否可相切？假设可能，求出此时X的值；假设不可能，请说明理由.20 .如图，在AABC中，ZC=90o,AC=6,tan-D是BC边的中点，E为AB边上的一个动点，作ZDEF=90o,EF交射线BC于点F.设BE=x,BED的面积为y.(1)求y关于X的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；(2)如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切，求线段BE的长；(3)如果以B、E、F为顶点的三角形与BED相似，求BED的面积.21 .如图，在梯形ABCD中，ABIICD,AB=2,AD=4,tanC=lNADC=NDAB=90。，P是腰BC上一3个动点(不含点B、C),作PQJ1.AP交CD于点Q(图1)(1)求BC的长与梯形ABCD的面积；(2)当PQ=DQ时，求BP的长；(图2)(3)设BP=x,CQ=y,试求y关于X的函数解析式，并写出定义域.1.解答:证明：,aDIIBC,.,.=P,又BEllCD,.*.P=,/.=,BPOC2=OAOE.OCOBOBOEOCOE2.解解：.AB=AC,/.ZB=ZC,答：又.NADE=ZB.NADE=ZC,/.ADESAACD,延回，/.AD2=AEAB,AEAD故正确，易证得CDESBAD,BC=16,设BD=y,CE=x,丝=以，/.10=y,整理得：y2-16y+64=64-IOx,CDCE16-yx即(y-8)2=64-10x,/.0<x6.4,/AE=AC-CE=IO-X,/.3.6AE<10.故正确.作AG_1.BC于G,AB=AC=IO,ZADE=ZB=Obcos=-,5.'BC=I6,.AG=6,AD=2T,.DG=2,.CD=8,.AB=CD,.ABD与ADCE全等；故正确;当NAED=90。时，由可知：ADESACD,/.ZADC=ZAED,.ZAED=90o,ZADC=90o,即AD±BC,AB=AC,BD=CD,ZADE=ZB=a且cosa»AB=10,BD=8.5当NCDE=90。时,易4CDESBAD,/ZCDE=90o,.ZBAD=90o,NB=a且CoSa=W.AB=IO,cosB=-,.,.BD=-.故正确.故答案为：.BDGC.证明：(1)在ABDE和ADAB中3.解答：4.解答：5BD52,."ZDEB=ZABC,ZBDE=ZADB,BDESADB>.迦D，.bd2=adde.BD-AD.AD是中线，.CD=BD,.CD2=ADDE,望，DE-CD又NADC=ZCDE,/.DECSDCA,二ZDCE=ZDAC.证明：连接CE,如右图所示，,AB=AC,ADJ_BC,.AD是NBAC的角平分线，.BE=CE,ZEBC=ZECB>又.ZABC=ZACB,.ZABC-ZEBC=ZACB-ZECB,即NABE=ZACE,又.CGIIAB,/.ZABE=ZCGF,/.ZCGF=ZFCE,又NFEC=ZCEG,.CEFSGEC,CE:EF=EG:CE,即ce2=efeg,又CE=BE,.BE2=EFEG.5.解答：.AD是角平分线，.NBAD=nCAD,又EF为AD的垂直平分线，.AF=FD,ZDAF=ZADF,/.ZDAC+ZCAF=ZB+ZBAD,ZCAF=ZBt'：ZAFC=ZAFC,.ACFSBAF,即里包，.AF2=CFBF,即FD2=CFBF.AFBF6.解答：解：(1)/APD=ZC=90o,ZA=ZA,ADPSABC,里区=工，APAC2'.'ZEPD=ZA,ZPED=ZAEP,EPDSAEAP.(2)由4EPDSEAP,得典=里工，PEAP2PE=2DE,/.AE=2PE=4DE,P巫FDj,!TAP2'.AE=2PE.作EHJ_AB,垂足为点H,.AP=x,/.PD=Ix,/PDIIHE,.眠捶=W.HE=2.2PDAD33又AB=25/,y=-(25X)当,即y=.Ix2+.2333定义域是OVXVazl5另解：由4EPDSEAP,得还二理J,PEAPPE=2DE.AE=2PE=4DE./.AE=24x5x.25xSABE=1××2=,.三=BP,即小当号233ABE2V5253y=+2娓X.定义域是OVXVaZ335(3)由APEH-BAC,得胆丝，.PE=Jx近二近X.HEAC323当BEP与ABC相似时，只有两种情形：NBEP=NC=90。或NEBP=NO90。.当BEP=90。时,里空,.当X=4=.PBAB5v-.Ixx9x5+25x35.253163416(ii)当NEBP=90。时，同理可得x=25,y=5._24解得X=NZl4B7.解证明：.BDCE分别
