矩阵分析第1章习题解.docx
第一章习题1、试证：R22中的一组向量(矩阵)线性无关解：令玉耳I+工242+刍七21+冗4七22二O2、试证：所有n阶对称矩阵组成(+1)/2维线性空间；所有n阶反对称矩阵组成5-1)/2维线性空间。解：所有n阶对称矩阵组成维线性空间的基底是共(+1)/2个。3、在W中，求向量=(l,2Jl)7在基四：4=(1,一1,一11)丁下的坐标。-111Ij答：化为解方程组I'-1X=1-11-1I-I-IuI1.25000.2500-0.2500-0.2500(12、4、在£2x2中，求矩阵4=在lV(n(nEHlJ叩oJe=(o°J,e4解：转化为线性方程，再求解即可。»E=l111;1110;1100;1000E=Illl111011001000»A=l203A=1203»z=E,A,Z=3=(l,l,l,l)7a2=(1,1,-1,-1)3=(l,-l,l,-l)f,:"i'(0、=下的坐标。(0Oj-15、试证：在R2x2中矩阵(n(OA1l(aby一.十E1=1.E2=,E3,E4=线性无关，并求=在基IUD-IO1J3bojUuICd)解:令转化为线性方程，再求解即可证线性无关。n(1c1111noA(ab+2+M+X4=再求解即可得坐标。d1。uuoJb(C"6、N中的两组基4=(1,0,0,01，2=(0,l,0,0)r,a3=(0,0,1,0)r,%=(。，。，。，1)与71=(2,lt-l,l),/72=(O,3,1,O),73=(5,3,2,l),A=(6,6,1,3)求由基/到基夕,的过渡矩阵。并求向量=（%,%2，£，工4）丁在基歹/下的坐标。J=（X,孙0Z）'在基Pj下的坐标y。21-10563361210137、设线性空间为R%“求多项式P*)=l+2%"T在基l,(x-l),(x-l)2,(X-I)I下的坐标。解:令令X=Iq=p(l)。两边求导数再令X=1.类推得：8、a=(1,2,1,0)r,a2=(-l,l,l,l),x=(2,-1,0,l)r,2=(l,-l,3,7)r求即ma1,02与SPcm,的和与交的基与维数。解:和空间的基即为。"里，£1，62的极大无关组，和空间的维数即为名，%，62的秩。即知和空间的维数是3,见血为其基底。由维数公式dimV1+dim匕=dim(V1+V2)+dim(V1V2)O下求交空间的基底。令:V2=spanx1a1+x229、设是n维线性空间V的一个线性变换，对某个JV有,()=0,试证Sre),尸),.，r-c)线性无关。解：令姑+&/©+&©+v1r-,()=o'乘，I并注意用条件VTC)W0,r«)=o,得勺7Ie)=o勺=o再由匕八/十七7二+欠ITMe)=O,乘，厂-2得仁了，Ie)=由&2e)+.1r-,()=o，乘，丁”-3得及TC)=Of&=。类推之得占全为零。10、设0、02、,凡线性无关，且。=。1圈+20+-*-amfin试证：向量组九基后的秩=矩阵(与)的列秩。解：法一，用向量组的相关性与其坐标向量的相关性一致即知命题显然成立。法二，设A=(%)=(a，%，4),r=r（八）,不妨设：%,4，%为其极大无关组。设无总+&4+-+%4=o依代、(44,，Ar)2=°，n(夕1，62,，£)(%，,"，)=°kl他kk=>(1,2,.,ar)2=On,2=0,即&4媒线性无关。即。¢，.，女的秩为r。Kr/ftr/11、 假设n维线性空间V中线性变换T使对V中某向量J有Tn-'()0,r,()=0,求T在某一基下的矩阵表示。解：由题9知，,Te),尸G),.是V的一组基。00001000其中A=0100OOlO101、12、 设T在基%=(-1,1,1)7',4=(1,0,-11,。3=(°，1，1)7'下的矩阵表示是4=11021；(1) 求T在基弓=(1.o,0)7>2=(0,l,0)r,¾=(0,0,1/下的矩阵表示。(2) 求T的核与值域。解：T(2i)=(l,s2,i)C,求C。-110T(a1,a2,a3)=(1,2,a3)A,又(%,%，%)=，？，？)1。11-11-11O-所以了(四,%，。3)=7(£1，£2，£3)1011 -11(2)设4=(。,。2，。3)又三T的核，那么4=。,=,%，4)*=0=>(a1,a2,a3)AX=0=>AX=0,=X=0,所以T的核二0。(1A代pYT的值域为spm,(a,%，%)1,(pa2,3)11.(a1,a2,3)0>,可把Qi代入再化简。I-UUI123、13、 设T是线性空间N的线性变换，它在K中基%下的矩阵表示是A=-103,求<215,T在基自=%用2=四+%，夕3=。1+%+%下的矩阵表示。解：由尸I=四,尸2=%+。2，笈3=%+%+%r123、又TXa,%，)=(%，%，)T03J15)14、 求矩阵A的列空间R（八）与核空间N（八）o02-416、-1-45(I)A=O42,(2)A=317116,IO5-10解：(1)A的秩为2,A的前两列线性无关。设A=,a2,a3,7?（八）=spanal,a29ai=spanai,a2求N（八）解方程AX=O,其通解即是。(2)同上15、试证："(AB)A二"(B4)”其中"（八）表示矩阵A的迹。解：易证5Ab=>R4,由些即有次(4B)2="(AB43)=ZrAAAA=Er(BA)Z16、试证："(4人)=£，4是A的特征值。Z=I解：由"（八）=Z4,以及AA的特征值为"即可。17设A2=e,试证：A的特征值只能是+1,或一1。解：由4=E,AX=XX储X=X2=.18设ANMA,试证：A的特征值只能是O或1。解：由A2=AAX=2X%2=>lX;l(;I-I)=O19、可逆矩阵A的特征值和特征向量，试求A-I的特征值和特征向量。解:AX=X,X0,又A可逆，知;l0°故由AX=；IX=4IX=AlX,即的特征值为；I，特征向量为X。20、AB,试证："（八）="(3)。解：AB,所以两者的特征值相同。又（八）=Z4,所以次（八）=次(3)。21、求矩阵A的特征值与特征向量。O1OO11OOO21"(1)A=-440(2)A=1O1(3)A=OlO(4)A=-203-21211O1OO-1-3O21、试证：在内中，由(1,1,0,0),(1,0,1,1)生成的子空间与(2,T,3,3),(OJ-1.T)生成的子空间相同。22、设T是N中的线性变换，它定义为T(X,z)=(O,x,y),求的象集与核。23、设T是N中的线性变换，它定义为T(x,y,z)=(2x-yiy+z,x),求T在基e=(1,0,0),0=(0,1,0),%=(°，°，D下的矩阵。24、线性变换T在基7=(-1,1,1)力2=(1,0,-1),%=(0,1,1)下的矩阵为求T在基q=(l,0,0),e2=(0,l,0),%=(0,0,1)下的矩阵。25、证明：每一个n维空间都可以表示成n个一维空间的直和。26、在R4中，定义验证VP匕都内是子空间，并求交K%的基及和乂+%的基。27、证明：过渡矩阵是可逆的。28、求RCH中线性变换T=&在基l,x,f,V一下的矩阵。29、在K?'?中定义线性变换求T在基巴|,骂2，七2”五22下的矩阵。30、证明：假设dimN(b)=0,那么线性无关组的像也线性无关。
