南京理工大学07-08(下)线性代数(2学分)(上半学期).docx

所有解答必须写在答题纸上，写在试卷上无效一.是非题：（每小题3分，共15分）（下列命题正确的打J,错误的打X）1.设A、8均为阶矩阵，则（A+B）2=42+245+炉。（）2 .两个等价的向量组含有相同个数的向量。（）3 .若非齐次线性方程组AX=力有两个不同的解，则AX=O有无穷多解。（）4 .若阶矩阵A与对角矩阵相似，则A有个线性无关的特征向量。（）5 .若实对称矩阵A的特征值均大于零，则4为正定矩阵。（）二.填空题：（每小题5分，共25分）abcabc1 .已知503=1,则3+53b3c+3=111i+4Z?+4c+4邛在基WbJ2 .设A、8均为阶矩阵，且AB=0,以=，S维向量iH=小下的坐标为4 .设=3是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵（gA?）有一特征值等于102、5 .设A=O20,要使A+”为正定矩阵，则/的取值范围是o3o1,三.00（0-10,B=0-1J1°0、0，求50（1,a2,a3,a4）的维数和一组基。1四.（10分）已知AX=B4,其中A=232x1-x2+x3+x4=1五,（12分）试问。为何值时，线性方程组（玉+2专一/+4=2有解？并在有解时求x1+7x2-4x3+Ilx4=a六.（14分）求一正交变换，将二次型f（x,X2,X3）=Xj2+2+2+4X%2+4x1x3+4x2x3化为标准形（要写出所用的正交变换和此标准形）.七 .（8分）证明：设向量组内,。2,，火线性无关，则向量组1=1,2=1+2,z=a1+a2+a,亦线性无关。八 .（6分）设A为阶实矩阵，加，线性方程组AX=人有唯一解，证明ArA可逆。