【√】概统4 .docx
A槐卑挑计锦程武皋号优4恁4业主考教师：试卷类型：(A卷/卷)一、填空题(18分，每个空2分)1 .用(X,K)的联合分布函数F(x,y)表示概率P(xi<Xx29yl<Yy2).F(%2，)一F(X，%)一F(X2，X)+F(x，M)2 .设随机变量XN(2,5),YN(l,4),且X与Y相互独立,则X-Y的分布为:N(0,9).3 .已知X,y是两个不相关的随机变量，且X服从参数为1的指数分布，丫服从参数为2的泊松分布，则E(XY)=2DQX-IY)=17.4 .设X与Y的相关系数为0.9,Z=X-OA,则y与Z的相关系数为0.9.5 .对一个随机变量X,使函数晨C)=E(X-C)?达到最小值的c等于E(X),该函数的最小值等于D(X).6 .设n个随机变量X,.,X“独立同分布，其共同分布是伯努利分布伙l,p),则EXi的分布为_"!1.p)_,i=l由中心极限定理，当充分大时，1.fXi近似服从N(np1np(l-p)分布.nI=I二、计算题(82分)1. (5分)设随机变量X的概率密度函数为f(x)=<xe-x0,x>0x0求随机变量Y=2的概率密度函数。解：由于在x>0时，变换y=2严格单调增，一阶导数存在，将(0,+8)变换到(0,+8)。所以当y>0时,4(y)=(J7)(J)=折-"苏=卜斤y>0y0le-7从而4(y)=<20,2. (5分)计算机在进行加法时，每个加数取整数(按四舍五入取最为接近的整数)，设所有加数的取整误差是相互独立的，且它们服从卜0.5,0.5上的均匀分布。要使总误差和的绝对值小于10的概率不小于0.90,求n最多为多少？(1.64)=0.95)解：设第i个加数的误差是Ui,则H,U独立同分布，共同分布为。(-0.5,0.5),且艮廿)=0,D(Ui)=l12o由中心极限定理，总误差和S=San(o,21依题意，求使不等式尸网V100.9成立的最大n.r=l12J所以p网100.9等价于2-l0.910.(101I>=2z-1n12Jyn2)因为ps<lp(TV0,<ioUp(o,i)<(10ZnlVI)0.95=(1.64),解：11U,)z,=c(x2x'+y00PX+yl=(2÷y2x+y乙0.rl0vl(I11I,2)dxdy=cx1dxdy÷y1dxdyWy=Ii1(I-K-(3)X2+y2dydx2c=3yE(X)=JJx(+)d=-JJx3dxdy+xy24ry,=-oo22(oo00)°0X,由对称性E(Y)=381()(10Y刀1.64,12=446.163n12U.64J因此要使总误差和的绝对值小于10的概率不小于0.90,n最多为446o3. (15分)设二维随机变量(x,y)的联合概率密度为c(x2+y2),Oxl,Oylf(,y)=甘.0,其他(1)求常数C的值；(2)求PX+yl;(3)求Coy(X,丫)。iiooiiioE(XK)=-(x2+y2)=-ydxdy+xy3dxdy=-0()221。00)°3551COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=ooo644.（16分）设X为某医院一天出生的婴儿个数，Y为其中男婴的个数，若X和丫的联合分布率为PX=n711=0,1,;n=0,1,2,解：,)二e*(7.12'(6.88)""'(14)"14PXi=I774=e，”0,1,2,Snvn-m)n!g/4(7.12)"(6.88)"(7.12)"712PY=m=Y/J)=i1.e-7/2,6二&Mmn-m.m*求X与丫的边缘分布；（2）求X=n时Y的条件分布和Y=m时X的条件分布。(2)PY=tnX=n=e*(7.12(6.88)f/(14)”/'eml(n-m)!n!丽Fj(7.12广(6.88厂,1,皿"0,1,2,f)e-"(7.12)"(6.88)"''(7.12712PX=n=m=_V_二)/A1.I2m(n-m)!m(6.88尸(w-w)!0-688,=皿"7+1,；777=0,1,2,5.（16分）设二维随机变量（X,丫）服从单位圆盘f+y2上的均匀分布。（1）求（）和人（y）；（2）求y（y）;（3）X与丫是否相互独立？；（4）x与Y是否不相关?解：二维随机变量（x,y）的联合密度函数为/ay)=，122,1一，X2+j21110,其他(1)当Wl时，/(x)=0;当/VXVl时由对称性可得，4。)二，0,其他(2)因只有当l<y<l时才有K(y)连续且大于0,因而AIy(Xly)有定义。此时若J<x<l,则12>l-y2若Wl,则xY(Xly)=0。当-ky<l时，y(xy)=2Jl-尸0,其它(3)显然当/+Vvl时，f(x,y)fx(x)f(y),所以X与Y不是相互独立的。E(X)=fx(x)dx=-y-x2dx=0由对称性有£(丫)=0。001兀E(XY)=ffxy-dxdy=0,Cov(X,K)=E(XY)-E(X)E(Y)=0÷11所以X与丫是不相关的。6. (io分)设随机变量X与y相互独立，其密度函数分别为:fx(X)="1qe220,x01e0,y0(1)求随机变量Z=X+F的概率密度；(2)求随机变量Z=max(X,F)的概率密度。÷30ZyXIZ-X解：(1)当z>0时，fz(z)=Jfx(x)f(z-x)dx=-e2e3dx=eF()231ebdx=e6当z0时，fz(z)=Oo因此yz(z)=<e3-0,-ez0(2)当z>0时，Fz(z)=Pmax(X,Y)zPXz9Yz=Fx(z)Fy(z)=当z0时，B(Z)=O。所以Z=max(X,y)的概率密度为1=1_£5Efz(z)=<-e2+-e3-e6236z00,7. (10分)设随机变量XN(O,1),在X=X的条件下，Y的条件分布为N(X,1)。求F(X,y)；求人(Xly)O解：/*,，)=%源3X)二戈r2意l"=l货211211=N212,2因为二维随机变量(x,y)服从二维正态分布，且M=XZ2=O，b；=；,6=1,0=A所以在Y=y的条件下，X的条件分布为N/1+p-(y-2),d-p2)l2、215第从而劣Iy(Xly)=Fe8. (5分)设一瓮中装有m+n个球，其中红球n个，黑球m个。现从中不放回地取球，每次取一个。记X为首次取到黑球前取到红球的个数，试求E(X)。解：记Xj=«1,第i个红球在首次取到黑球前被取到0,其它,则X=ZXi=l扁5居2”"A/n!(l)!Rimtn+n)cm+,(1m-n)c%+C+1+c,t2÷C1.+&JJ=黑二FC匕E(Xi)=PXi=l÷(11-l)(w+j-l)!+(i-1)(z-2)(w÷-2)!÷+(-1)Izn!(I)Y加(-1)!弋(WTJ六_，八i一"：、C,(m+n)!m(n-)(m÷)!w+n1加！(1)!(机+)！m+n)(nl)!(n÷l)!n+l+Ui,x(x)U
